Стоит учитывать, что до появления Петербурга на этом месте были болота. Вот из такого болота и вытекала речушка, которая в те времена называлась "пиени муя йоки", что в переводе означало "маленькая грязная река". Как видно из одного только названия, мыть в ней что-то было делом нелогичным. Со временем "Муя" трансформировалось в "Мья". Но все неудобное для произношения со временем принимает более удобоваримую форму. Близким по созвучию стало слово "Мойка". Какое-то время оба названия шагали параллельно, но в 1797 году река получила официальное имя Мойка.

Вода была очищена и перестала походить на болотистую жижу, дно углубили, набережные облагородили. Теперь эта река пересекает центр города и входит в туристические маршруты.

Таким образом, ни с каким мытьем название не связано, все более прозаично.

Я не историк-археолог, но могу предположить, что в этом водоеме первые жители столицы государства Российского банально мыли посуду и стирали одежду и обувь. Недаром там периодически встречаются спуски непосредственно к воде. Вот от этой нехитрой "забавы" и пошло гулять столь чудаковатое название протоки (ее даже речкой назвать сложно).