Количество цифр в записи числа в позиционной системе счисления зависит от его основания. Самое большое k-значное число в системе по основанию a равно (a^k - 1).

Поскольку число «10001» — 5-значное, то даже самое большое 4-значное число меньше его:

a^4 - 1 < 17,

что равносильно

a^4 < 18,

что остаётся верным, и если (замениям условие более слабым, чтобы не иметь дело с иррациональными числами при взятии корня 4-й степени)

a^4 < 81 = 3^4,

откуда

a < 3,

что для основания a позиционной системы счисления возможно, только если

a = 2.

Остаётся только проверить, что запись «10001» в системе счисления по основанию a=2 соответствует числу 17 (или что десятичное число «17» соответствует двоичному «10001» — не важно в каком направлении и каким способом переводить из одной системы счисления в другую), а при намётанном глазе это и так видно (ну, а кому не видно:

2^4 + 2^0 = 16 + 1 = 17).

Ответ: 2.

Записываем наше число; сверху маленькими цветными циферками (числами, конечно) нумеруем разряды. Нумерация идёт справа налево, а начинаем мы с нуля. Значение каждого разряда — это соответствующая ему чёрная цифра нашего числа 10001, умноженная на a (основание системы, которое мы и ищем), предварительно возведённое в степень, указываемую маленькой синей циферкой вверху.

Итак:

1 * a⁴ + 0 * a³ + 0 * a² + 0 * a¹ + 1 * a⁰ = 17;

a⁴ + 1 = 17;

a⁴ = 17 – 1;

a⁴ = 16.

Нужно извлечь корень четвёртой степени из числа шестнадцать.

Я думаю, всем ясно, что отрицательный действительный корень (–2) брать не сто́ит?

Конечно, какой-то педант имеет право спросить: уважаемый сударь, а что мне делать с комплексными, в данном случае — с чисто мнимыми корнями? Их нужно брать? Эх, я думаю, что не нужно, равно как и отрицательный действительный... Но комплексные корни равны 2i и –2i. И всё же я бы пожелал их отмести, отбросить. Как же Вы себе представите систему счисления, которая использует 2i цифр?!

Результат: a = 2. Это двоичная система счисления: 17₁₀ = 10001₂.

Мудреное пояснение, как, впрочем, и сам вопрос...

А "ларчик просто открывался". Тут применена элементарная двоичная система счисления, а стало быть искомое "а" есть ничто иное, как 2. И собсно искать ничего не надо: первая мысль о том, что в результирующем варианте записи мы видим только две цифири: 0 и 1.

Чтобы найти число a, основание системы счисления, Запишем число 10001 в развёрнутой форме:

10001ₐ = 1×a⁴ + 0×a³ + 0×a² + 0×a¹ + 1×a⁰ = 17

Запишем это выражение без нулевых слагаемых и коэффициентов равных единице:

10001ₐ = a⁴ + a⁰ = 17

Учитывая, что любое число в нулевой степени равно единице, получим:

10001ₐ = 1×a⁴ + 1×a⁰ = a⁴ + 1 = 17

Решаем уравнение

a⁴ + 1 = 17

a⁴ = 17 - 1 = 16

a = ∜16 = √(√16) = √4 = 2

Получили, что основание системы счисления, в которой число 17 записывается как 10001 равно 2

Ответ: а (основание системы счисления) равно 2