Уравнение № 1. Наверное, "квадратное уравнение не имеет решений" — это всё же не совсем верная формулировка, ибо любое квадратное уравнение всегда имеет два комплексных корня. А вот не имеет действительных корней — это другое дело. Это означает, что дискриминант данного квадратного уравнения отрицателен. Дискриминант — это b² – 4ac.

x² + (p + 12)x + 3q = 0.

D₁ = (p + 12)² – 4 * 1 * 3q < 0;

раскрываем скобочки по ФСУ квадрата суммы;

p² + 24p + 144 – 12q < 0. Это будет неравенство А.

Уравнение № 2. Про него сказано, что оно имеет два различных <видимо, к тому же ещё и действительных> корня. Это значит, что его дискриминант положителен.

3x² + qx – (p + 12) = 0.

D₂ = q² – 4 * 3 * [–(p + 12)] > 0;

q² + 12(p + 12) > 0;

q² + 12p + 144 > 0;

умножаем всё на минус один (меняется знак у неравенства);

–q² – 12p – 144 < 0. Это неравенство Б.

Теперь есть некий смысл найти сумму неравенств А и Б.

У меня получилось следующее:

p² + 24p + 144 – 12q – q² – 12p – 144 < 0;

p² + 12p – q² – 12q < 0.

Здесь, я думаю, есть смысл попытаться разложить левую часть неравенства на произведение двух биномов, применив метод группировки. Впрочем, тут все три базовых метода разложения многочленов задействованы так или иначе (группировка, ФСУ <разности квадратов> и вынесение общего множителя за скобочку). Но группировка — основа.

p² – q² + 12p – 12q < 0;

(p + q)(p – q) + 12(p – q) < 0;

(p – q)(p + q + 12) < 0.

Как дальше это ещё упростить? В условии под конец ещё сказано, что p < q. Или p – q < 0. То бишь p – q отрицательное число. А у нас на первом месте теперь как раз и стоит этот самый бином p – q. Мы можем на него поделить обе части неравенства (ноль вполне разрешается делить на любое число, отличное от нуля), но ведь знак неравенства-то у нас при этом поменяется!

p + q + 12 > 0;

p + q > –12.

Наименьшее целое число (принадлежащее множеству Z), которое строго больше, чем минус двенадцать, — это число минус одиннадцать.

Ответ: [min (p + q)] ∈ Z = –11.