Как решить: Число п называется интересным, если n<100 и 40 * k(n)=n² - 961?
Пусть k(n) - произведение цифр натурального числа n. Число п называется интересным, если n < 100 и 40 * k(n) = n² - 961.
Найдите все интересные числа. Если таких чисел несколько, запишите их в ответ в порядке возрастания, через запятую, без пробелов.
Ответы (1)
Если n < 100, то есть два варианта:
1) n - однозначное число, тогда k(n) = n
40*n = n^2 - 961
n^2 - 40n - 961 = 0
D/4 = (-20)^2 - 1(-961) = 400 + 961 = 1361 = 36,9^2
Дискриминант не является точным квадратом, поэтому n будет иррациональным числом. Нам это не подходит.
2) n - двузначное число, n = 10a + b
Тогда k(n) = a*b <= 9^2 = 81
40ab <= 40*81 = 3240
n^2 - 961 <= 3240
n^2 <= 4201
n <= 64
И при этом n > 31, потому что:
n^2 - 961 = n^2 - 31^2 > 0
Значит, n Є [32; 64]
40*k(n) = 40ab
n^2 - 961 = (10a + b)^2 - 961 = 100a^2 + 20ab + b^2 - 961 = 100(a^2 - 9) + 10(2ab - 6) + (b^2 - 1)
Если это число равно 40ab, то оно делится на 10, то есть оканчивается на 0.
Значит, b^2 оканчивается на 1. Это может быть в двух случаях:
а) b = 1
Проверяем числа 41, 51, 61.
41: 40ab = 40*4*1 = 160; n^2 - 961 = 41^2 - 961 = 1681 - 961 = 720 - не подходит.
51: 40ab = 40*5*1 = 200; n^2 - 961 = 51^2 - 961 = 2601 - 961 = 1640 - не подходит.
61: 40ab = 40*6*1 = 240; n^2 - 961 = 61^2 - 961 = 3721 - 961 = 2760 - не подходит.
б) b = 9
Проверяем числа 39, 49, 59
39: 40ab = 40*3*9 = 1080; n^2 - 961 = 39^2 - 961 = 1521 - 961 = 560 - не подходит.
49: 40ab = 40*4*9 = 1440; n^2 - 961 = 49^2 - 961 = 2401 - 961 = 1440 - ЭТО РЕШЕНИЕ!!!
59: 40ab = 40*5*9 = 1800; n^2 - 961 = 59^2 - 961 = 3481 - 961 = 2520 - не подходит.
Ответ: 49
ВКонтакте