У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка).
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
У меня ответ такой: 10 и 10.
Во-первых от направления ряда ничего не изменится, а в-вторых:
В нашей шоколадке всего 10 таких рядов, соответственно повторяться действие будет 10 раз, после чего первый ряд будет на своём месте. Соответственно 1 минута * 10 = 10 минут
неверно, в а ответ 22
неверно потому что в зависимости от направления ряда начинки будут зеркально лежать( допустим что начинки это чиста от 1 до 3) '1' '2' '3' или '3' '2' '1', а нужно чтобы все было на своих местах
На картинке (шоколадке) всего 55 клеток (разных начинок)
Как ни странно , но начну решать с Б) (для более простого понимания)
А теперь надо представить движение каждой клетки. Например клетка (1; 1) будет всегда на своем месте.
А любая клетка (n; 1) переходит в диагональную (1; n) (из первой строки в в первый столбец)
И остальные клетки движутся по диагонали с каждым шагом на одну вправо и одну вверх и как достигнет верха, снова спускается вниз по диагонали и так по кругу
В этой фигуре 10 "диагональных линий"
Таким образом точка в 10 линии проделает 10 шагов, в 4 линии 4 шага и т.п.
То есть у каждой линии свое количество шагов когда они встанут на свои места. Для "диагонали" с номером n (n от 1 до 10) её клетки будут становится на места каждые n шагов.
Тогда считаем НОК (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) = 2³ • 3² • 5 • 7 = 2520
То есть только через 2520 минут все клетки встанут на свои места (это 42 часа)
А вот теперь приступим к решению А)
Посмотрим на рисунок
В результат клетка пробежит 2 "диагонали" n и ( 10 - n + 1)
Таким образом каждая клетка пройдет n + (10 - n + 1) = 10 + 1 = 11 шагов до своего места.
И потребуется всего 11 минут.
Ответ: а) 11 минут; б) 2520 минут