Если говорить не совсем по-нашему, а на западный лад, то такая штуковина зовётся магическим квадратом. Но можно и волшебным его назвать, не буду возражать.

В 2023 году я наконец разобрался с принципом построения разноциферного однозначного волшебного/магического квадрата три-на-три. Хотел бы поделиться алгоритмом того, как он строится. То, что человек понял, а не зазубрил, останется при нём на века!

Но пока что я хотел бы заняться построением нормального волшебного квадрата — такого, где все цифры (однозначные числа, конечно!) от 1 до 9 включительно присутствуют ровно по одному разу.

1) Первым делом нужно понять устройство квадрата. Его квадратики неравноправны по своему положению. Есть централь (центрик), есть 4 уголка и есть 4 боковушки (давайте по аналогии с кубиком Рубика я буду называть боковушки рёбрами).

Централь стоит на пересечении одной горизонтали (медианной, разумеется), одной вертикали и обеих диагоналей.

Каждый уголок стоит на пересечении 1 горизонтали, 1 вертикали и 1 диагонали.

Каждое ребро стоит на перекрёстке только 1 горизонтали и 1 вертикали.

2) Для начала первым расчётом мы найдём сумму всех чисел, которые вообще находятся в нашем квадрате. Можно через формулу суммы арифметической прогрессии, но я не буду так извращаться и вычислю напрямую, прямым расчётом: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Это легко считается в уме.

3) У нас три горизонтали. Сказано, что суммы на всех трёх должны быть попарно равными. Значит, на каждую горизонталь придётся сумма 45 : 3 = 15.

И та же логика действует и для вертикалей.

Но ведь сказано, что и на каждой диагонали сумма должна быть такая же, как и по вертикали или по горизонтали! Значит, на каждую диагональ тоже приходится по 15 баллов (хоть диагоналей только две).

4) А теперь самое важное. Какие вообще разные комбинации (сочетания) трёх разных однозначных чисел дадут нам 15 при сложении чисел каждой такой тройки? Нужно найти их все, но не написать лишнего.

Это может оказаться не так просто для школьника младших классов. Начинаем первую комбинацию с единицы. Понятно, что два одинаковых числа брать нельзя. Значит, второе число будет больше первого, а третье — больше второго (если наоборот, то такую комбинацию мы уже рассмотрели раньше!). Понятно, что если кто-то начал с 1 и 2 или с 1 и 4, то его ждёт неудача, ибо 15 – 1 – 2 = 12, а 15 – 1 – 4 = 10, а 12 и 10 не являются однозначными числами.

Как бы там ни было, после ряда проб мы приходим к тому, что таких комбинаций как раз восемь штук:

а) 1 + 5 + 9 = 15;

б) 1 + 6 + 8 = 15;

в) 2 + 4 + 9 = 15;

г) 2 + 5 + 8 = 15;

д) 2 + 6 + 7 = 15;

е) 3 + 4 + 8 = 15;

ж) 3 + 5 + 7 = 15;

з) 4 + 5 + 6 = 15.

5) И ещё нам надо посмотреть, сколько раз нам в общей сложности встретилось каждое конкретное слагаемое. Тут только три "частоты". В зависимости от частоты мы и будем выносить вердикт: куда именно пойдёт это число.

Пятёрка встретилась целых четыре раза (а, г, ж, з). А в пункте № 1 нашего алгоритма мы выяснили, что централь располагается на пересечении сразу четырёх прямых линий нашего квадрата. Значит, пятёрка пойдёт в центр!

Числа 2, 4, 6, 8 каждое встретилось по три раза. Выходит, что цифры 2, 4, 6 и 8 пойдут в углы.

Наконец, мы видим, что нечётные числа (за исключением 5), то есть 1, 3, 7 и 9, попались нам каждое только по два раза. Следовательно, циферки 1, 3, 7 и 9 займут рёбрышки.

Вот нам и ответ на первый вопрос. Цифра 3 никак не может занимать угол! Мы же выяснили, что 3 — это рёберный элемент, боковичок.

А в углах могут стоять только чётные цифры! Если в левом верхнем углу находится восьмёрка, то в правом нижнем углу при таком раскладе находится двойка (15 – 8 – 5 = 2).

С определением количества всевозможных нормальных волшебных квадратов сложнее, но я тоже вроде бы разобрался.

Возьмём какой-либо угол нашего квадрата. Может быть любым, но давайте рассмотрим для примера левый верхний угол [но это неважно, повторяю]. В левом верхнем углу может стоять любая из цифр 2, 4, 6 или 8. Это уже четыре варианта.

Если взять какую-то одну фиксированную из них (скажем, двойку), то правый нижний угол автоматически заполнится восьмёркой. А остальные два угла можно заполнить двумя способами (ПВУ4-ЛНУ6 или ПВУ6-ЛНУ4).

Значит, каждая цифра левого верхнего угла даст нам по две комбинации, а всего таких комбинаций будет 4 * 2 = 8.

Нечётные цифры никак не повлияют на количество комбинаций, ибо после гарантированной установки пятёрки в центр и полной расстановки всех уголков боковушки заполнятся автоматически.

Мы получили ответ на второй вопрос: всего возможно восемь нормальных волшебных квадратов.

Правда, тут возникает затруднение. Позиции нашего квадрата фиксированы?

Наш квадрат нельзя ни вращать, ни отражать зеркально (рассматривать его хоть и плоским, но находящимся в пространстве)?

Если можно только вращать, то число квадратов сократится с 8 до 2.

Если можно только отражать (выходить из плоскости), то тогда до 4.

Если можно делать и то и другое, то тогда до 1. [Т. е. в пространстве, где повороты разрешены, фактически выходит, что на самом деле магический квадрат всего один!]

И всё же я предполагаю, что автор задачи имел в виду, что квадрат жёстко зафиксирован и с ним ничего делать нельзя. Что ж, тогда возвращаюсь к своему первоначальному ответу: восемь разных нормальных магических квадратов. Окончательно! И всё равно считаю, что условие задачи было бы неплохо уточнить.

Самый сложный — это третий пункт, и тут я теряюсь, затрудняюсь с ответом.

Что есть "разный" волшебный квадрат? [Видимо, произвольный.]

Это когда цифры могут повторяться?

Тогда это очень сложная задача.

Еле-еле, с невероятным трудом смог хоть и не решить сам, но найти нужную информацию (правда, на английском языке).

И снова возникает затруднение, как нам нужно их считать.

Если наш заветный квадратик 3х3 нельзя ни поворачивать, ни отражать, то тогда их 1 + 5 + 13 + 25 + 41 + 25 + 13 + 5 + 1 = 129 различных видов.

Если можно делать и то и другое, то тогда их 1 + 2 + 4 + 6 + 9 + 6 + 4 + 2 + 1 = 35 разных видов.

Пока что даю такие окончательные ответы:

А) Нет, не может. Число три — это однозначно не угловой элемент, а рёберный. Если ЛВУ = 8, то ПНУ = 2.

Б) Остановлюсь на 8 нормальных квадратах.

В) Остановлюсь на 129. Как самому найти это число, к сожалению, я пока не понимаю. Возможно, математики БВ это знают.

Сначала о магических квадратах вообще. В математике все-таки принято называть их магическими.

Магический квадрат - это квадрат, в котором стоят все разные числа (это обязательно!) и при этом все суммы по строкам, столбцам и двум главным диагоналям равны друг другу.

Магических квадратов 2*2 - не бывает. Это доказывается элементарно.

Если в левом верхнем углу стоит какое-то число, например, 1, то в левом нижнем и в правом верхнем должны стоять одинаковые числа, а этого не может быть.

Магический квадрат 3*3 - всего 1 с точностью до поворотов и отражений. Магическая сумма равна 15.

Если отраженные и повернутые квадраты считать как разные, то их будет 8. Но обычно их не считают.

Квадратов 4*4 - уже 880 разных, если не считать поворотов и отражений. Магическая сумма 34.

Квадратов 5*5 - 275 миллионов с лишним. Это было установлено в 1975 г. Магическая сумма 65.

Квадратов 6*6 и более высоких порядков - до сих пор неизвестно сколько.

Теперь перейдем к вашей задаче.

Квадрат, у которого 8 стоит в левом верхнем углу:

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Его же можно повернуть и написать во втором виде:

8 1 6

3 5 7

4 9 2

А) Как видим, если 8 стоит в углу, то 3 не может стоять ни в каком другом углу.

Б) Нормальных волшебных квадратов 3*3 - всего 1 с точностью до поворотов и отражений.

Теперь про вопрос В). Алекс-89 его просто не понял.

Разные магические квадраты - это не те, в которых числа повторяются.

Это те, в которых числа идут не подряд.

Например, вот такой квадрат 3*3:

68 2 44

14 38 62

32 74 8

Магическая сумма равна 114.

Таких разных квадратов очень много, посчитать их количество невозможно.