Для начала сложим три уравнения с натуральными числами. Затем,полученный результат будем сравникать со всеми пятью вариантами комбинаций по три числа, также через их сложение.

(a+b) + (b+c) + (c+a) = 2а + 2b + 2c = 2×(a+b+c)

Первый вариант

2×(a+b+c) = 102+201+300 = 603

a+b+c = 301,5

Данный вариант чисел недопустим, посколтку предполагает, что либо a, либо b, либо c будут не целыми числами, что недопустимо для натуральных чисел.

Второй вариант

2×(a+b+c) = 201+303+606 = 1110

a+b+c = 555

a+b = 201, т.е. c=354

b+c = 303, т.е. a=252

c+a = 606, т.е. b=-51

Данная тройка чисел нам также не подходит, поскольку натуральное число не может быть отрицательным.

Третий вариант

2×(a+b+c) = 302+305+507 = 1114

a+b+c = 557

a+b = 302, т.е. c=255

b+c = 305, т.е. a=252

c+a = 507, т.е. b=50

Четвертый вариант

2×(a+b+c) = 301+403+505 = 1209

a+b+c = 604,5

Как и в первом варианте дальнейшие расчеты не нужны, поскоььку натуральное число может быть только целым числом.

Пятый вариант

2×(a+b+c) = 201+302+403 = 906

a+b+c = 453

a+b = 201, т.е. c=252

b+c = 302, т.е. a=151

c+a = 403, т.е. b=50

Таким образом, верными ответами стали

• 302, 305, 507
• 201, 302, 403

Попробуем решить систему:

{ a + b = 102

{ b + c = 201

{ c + a = 300

Сложим все 3 уравнения:

2a + 2b + 2c = 102 + 201 + 300

2(a + b + c) = 603 - нечетное число, поэтому сумма a + b + c будет нецелым числом. Не подходит.

Значит, нужно выбрать такую тройку чисел, чтобы их сумма была четным числом.

201 + 303 + 606 = 1110 - подходит, a + b + c = 555.

302 + 305 + 507 = 1114 - подходит, a + b + c = 557.

301 + 403 + 505 = 1209 - не подходит.

201 + 302 + 403 = 906 - подходит, a + b + c = 453.

Решаем каждую из подходящих систем.

1) a + b + c = 555.

{ a + b = 201

{ b + c = 303

{ c + a = 606

Вычитаем из суммы a + b + c каждое из уравнений.

{ a + b + c - a - b = 555 - 201

{ a + b + c - b - c = 555 - 303

{ a + b + c - c - a = 555 - 606

Получаем:

{ c = 354

{ a = 252

{ b = -51 < 0 - не подходит.

Значит, еще нужно, чтобы все суммы двух чисел были меньше, чем сумма трех чисел.

2) a + b + c = 557.

{ a + b = 302

{ b + c = 305

{ c + a = 507

Вычитаем из суммы a + b + c каждое из уравнений.

{ a + b + c - a - b = 557 - 302

{ a + b + c - b - c = 557 - 305

{ a + b + c - c - a = 557 - 507

Получаем:

{ c = 255

{ a = 252

{ b = 50

3) a + b + c = 453.

{ a + b = 201

{ b + c = 302

{ c + a = 403

Вычитаем из суммы a + b + c каждое из уравнений.

{ a + b + c - a - b = 453 - 201

{ a + b + c - b - c = 453 - 302

{ a + b + c - c - a = 453 - 403

Получаем:

{ c = 252

{ a = 151

{ c = 50

Ответ: (302; 305; 507); (201; 302; 403)