У нас система из трёх высказываний. Давайте запишем их математически. То расстояние, которое нашим путникам нужно пройти, я обозначу буквой икс.

Аня: «Осталось идти не меньше 10 км» ⇔ x ⩾ 10.

Боря: «Нужно пройти не более 8 км» ⇔ x ⩽ 8.

Вова: «Остаётся пройти 8,5 км плюс минус один километр». Тут возникает небольшое затруднение: Вова имел в виду открытый промежуток (интервал) или закрытый (отрезок)? А может быть, полуоткрытый-полузакрытый. Но обычно, если говорят "с мая по декабрь", то и май и декабрь включаются в подобный отрезок. Давайте предположим, что Вова имел в виду закрытый отрезок. Итак, его высказывание записывается символьной математикой в виде: 7,5 ⩽ x ⩽ 9,5.

Задача осложняется тем, что по условию только двое путников говорят правду. Значит, 3 – 2 = 1 из них врёт.

Необходимо последовательно в нашей системе вместо каждого из трёх высказываний подставить его отрицание. Два других высказывания при этом останутся неизменными. Затем мы нанесём точки 7,5; 8; 8,5; 10 на одномерную координатную ось. [Они разобьют её на пять промежутков.] Для каждого из трёх высказываний (с учётом внесённого изменения в виде отрицания) мы выполним соответствующую штриховку, выделив нужный нам промежуток на оси координат. И для каждого из трёх случаев мы должны определить, есть ли тройная штриховка. [Ибо какое-то расстояние нашим троим героям точно придётся преодолеть, это чётко установленный факт; остаётся лишь выяснить, кто соврал...] Тот случай, когда появится промежуток, заштрихованный три раза, и будет нашим искомым!

Случай А. Предположим, что соврала Аня.

¬(x ⩾ 10) ⇔ x < 10.

Имеем следующую систему:

1) x < 10;

2) x ⩽ 8;

3) 7,5 ⩽ x ⩽ 9,5.

И — о счастье! — мы нашли промежуток [7,5; 8], где штриховка оказалась тройной. Это и будет правильным ответом на задачу. Однако анализ нужно продолжать до логического конца, чтобы исключить два других варианта.

Случай Б. Может быть, солгал Боря?

¬(x ⩽ 8) ⇔ x > 8.

У нас образовалась следующая система:

1) x ⩾ 10;

2) x > 8;

3) 7,5 ⩽ x ⩽ 9,5.

Но у нас нет ни одного промежутка с тройной зелёной штриховкой. Значит, это не наша ситуация (выходит, Боря не солгал).

Случай В. А может быть, врунишкой оказался Вова?

Ну что же, ¬(7,5 ⩽ x ⩽ 9,5) ⇔ (x < 7,5) ∪ (x > 9,5). <Объединение — это то же совокупность, оно соответствует союзу "или". Можно в тетради также подогнать под вертикальную квадратную скобку слева.>

Такая системка вышла:

1) x ⩾ 10;

2) x ⩽ 8;

3) (x < 7,5) ∪ (x > 9,5).

И снова мы видим, что после выполнения штриховок нет ни единого участка, где она была бы тройной! Выходит, и случай В тоже невозможен, а значит, Вова не был вруном.

Окончательный ответ: см. верхний рисунок (случай А верен, это и есть наша фактическая ситуация). Расстояние, которое предстоит пройти трём детям, принадлежит промежутку [7,5; 8] (это километры). При этом Аня, к сожалению, оказалась лгуньей, а Боря и Вова изрекли истину.

Рассмотрим высказывания каждого из ребят и определим, какие из них могут быть правыми.

Аня: «Нам идти не меньше 10 км» — это значит, что расстояние до кемпинга ? 10 км.

Боря: «Нет, думаю, что не больше 8 км» — это значит, что расстояние до кемпинга ? 8 км.

Вова: «Нам осталось 8,5 км плюс-минус 1 км» — это значит, что расстояние до кемпинга находится в пределах от 7,5 км до 9,5 км (то есть 7,5 км ? расстояние ? 9,5 км).

Теперь проанализируем, какие из утверждений могут быть правыми, если ровно двое из них правы.

Если Аня права (расстояние ? 10 км), то Боря и Вова не могут быть правы, так как их утверждения противоречат этому.

Если Боря прав (расстояние ? 8 км), то Аня не может быть правой, но Вова может быть правым, если расстояние ? 9,5 км. Однако, если расстояние ? 8 км, то Вова также будет не прав, так как его диапазон (7,5 км ? расстояние ? 9,5 км) не включает значения ? 8 км.

Если Вова прав (7,5 км ? расстояние ? 9,5 км), то:

Если расстояние < 10 км, то Аня не может быть правой.

Если расстояние > 8 км, то Боря также не может быть правым.

Теперь проверим диапазоны:

Если расстояние находится в диапазоне (7,5; 8], то правы только Вова и Боря.

Если расстояние находится в диапазоне (8; 9], то правы только Вова и Аня.

Если расстояние находится в диапазоне [9; 9,5], то правы только Вова и Аня.

Таким образом, единственный диапазон, где ровно двое из них правы, — это (7,5; 8].

Ответ: (7.5; 8].

Вот какие варианты были озвучены ребятами в виде предположения:

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5]

Эту задачу проще решать в обратном порядке, рассматривая предложенные варианты ответов и подставляя им оценки (1 - истина, 0 - ложь):

a) (8.5; 9.0]:

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5] = 0, 0, 1,

б) [7.5; 8.5]:

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5] = 0, 0, 1,

в) (7.5; 9.0):

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5] = 0, 0, 1,

г) [9.0; 10.0):

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5] = 0, 0, 0,

д) [7.5; 8.0]:

[10.0, ∞), [0.0, 8.0), [7.5, 9.5] = 0, 1, 1.

Как видно, два верных предположения попадают в

вариант д) [7.5; 8.0]