Схематично на рисунке впишем прямоугольный треугольник в квадрат, согласно условиям задачи.

Пусть KL=x, тогда АК=2x (согласно условию задачи AK=2KL)

Согласно теореме Пифагора

KL²+AK²=AL²

x²+(2x)²=10²

x²+4x²=100

5x²=100

x²=20

x=√20

Таким образом,

KL=√20

АК=2√20

Угол BAK=α, тогда угол ВКА=90-α.

Угол CKL=180-90-(90-α)=180-90-90+α=α, а угол KLC=90-α.

Таким образом, треугольники ABK и KCL подобны.

Пусть сторона АВ=n, а BK=k. Тогда, KC=n-k.

На графике укажем новые обозначения сторон.

Для подобных треугольников составим пропорцию:

AB/AK=KC/KL

n/2√20=(n-k)/√20

n√20=2√20(n-k)

n=2n-2k

n=2k

Составим уравнение по теореме Пифагора для треугольника ABK.

AB²+BK²=AK²

(2k )²+k²=(2√20)²

4k²+k²=4*20

5k²=80

k²=16

k=4

AB=n=2k=2*4=8

Следовательно, сторона квадрата равна 8.