Нарисуем рисунок по условию. И отметим дополнительно углы.

Пусть ∠BPM = х, а ∠MAN = y

1) ∆DCM = ∆ABM - прямоугольные и стороны AB = CD, BM = MC.

Тогда ∠AMB = ∠DMC обозначим = α

2) ∆ BCN = ∆ADN - прямоугольные и стороны BC = AD, CN = ND.

Тогда ∠CBN = ∠DAN обозначим = β

3) ∠BAM обозначим = γ

4) Рассмотрим ∆BMP: ∠DMC - внешний и равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним: α = х + β

Откуда х = α - β

5) Рассмотрим ∆ABM - прямоугольный: α + 90° + γ = 180°

α = 90° - γ

6) Рассмотрим ∠BAD = 90° = γ + y + β

y = 90° - γ - β (заменим 90° - γ = α из пункта 5)

y = α - β

Получили y = x, то есть ∠MAN = ∠BPM

Что и требовалось доказать.