Рассмотрим треугольники APS и QCR. Поскольку ABCD - параллелограмм, то AB = CD, a углы А и С равны. Поскольку AP:PB=CR:RD, то AP = CR, AS = QC. Тем самым треугольники APS и QCR равны - под двум сторонам и углу между ними. Аналогично можно доказать и равенство треугольников PBC и RDS. Так что мы получили четырёхугольник PQRS, у которого противоположные попарно стороны равны, а значит это параллелограмм.

Теперь докажем, что что точка пересечения его диагоналей совпадает с точкой пересечения диагоналей исходного треугольника (обозначим её через О). Для этого рассмотрим треугольники АРО и CRO. Тут опять можно доказать, что они равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма, углы РАО и RCO равны как внутренние накрест лежащие). Стало быть, углы РОА и COR равны. Но это означает, что угол между отрезками РО и OR - развёрнутый, поскольку угол между АО и ОС развёрнутый (АС, напомню, - диагональ, то есть кусок прямой). Значит, РО и OR вместе составляют одну прямую линию, то есть являются диагональю параллелограмма PQRS. Аналогично можно доказать, что и QS - тоже диагональ того же параллелограмма. И точка О получается общей точкой обоих параллелограммов.

Вся любовь.