Это профессиональный жаргон у ментов. Во всех "полицейских сериалах" последних лет, вот хотя б "Невском", это сплошь и рядом. Разумеется, это не является языковой нормой - но попробуйте им это объяснять...

Правильно будет подать рапорт, в любом уставе силовых ведомств так и написано. Слово исполнить в силовых ведомствах обозначает совершить какое либо публичное действие. Например, исполнить приказ, исполнить приговор, исполнить обещание и так далее. По отношению к рапорту выражение исполнить не очень уместно.