В серединке этой звезды есть выпуклый пятиугольник с вершинами 1'2'3'4'5', сумма углов которого равна 540°,

то есть 180º×(n-2), n=5

Вершины этого пятиугольника и вершины пятиугольной звезды образуют 5 треугольников:

1'+5+2=180°

2'+1+3=180°

3'+2+4=180°

4'+5+3=180°

5'+1+4=180°

в которых наши искомые углы встречаютя по два раза.

Сложим эти 5 уравнений:

540°+2(1+2+3+4+5)=180×5

1+2+3+4+5=(900-540)÷2

1+2+3+4+5=180°

Ответ: сумма углов пятиконечной звезды равна 180°

Сумма углов в вершинах любой 5-угольной звезды равна 180 градусов.

Это можно доказать. Смотрите рисунок.

Нам нужно найти сумму 5 красных углов. Рассмотрим 5 треугольников, отмеченных цифрами от 1 до 5.

Возьмем для примера один такой треугольник номер 1.

Красный угол + 2 синих = 180 градусов (как во всяком треугольнике).

Синий угол + зеленый = 180 (смежные углы)

Представим себе, что все внутренние углы в треугольниках отмечены синим, а углы 5-угольника зеленым.

Сумма зеленых углов в 5-угольнике равна, как известно:

S(5) = 180*(n - 2) = 180*(5 - 2) = 180*3 = 540 градусов.

Сумма всех синих и зеленых углов:

S(С+З) = 10*180 = 1800 градусов.

Мы берем 10, а не 5, потому что мы каждый зеленый считаем по 2 раза: например, в вершине A1 складываем зеленый угол с синим углом в 1 треугольнике и в 5 треугольнике.

Значит, сумма всех синих углов:

S(С) = S(С+З) - S(5) = 1800 - 540*2 = 1800 - 1080 = 720 градусов.

А сумма углов в пяти треугольниках равна:

S(5 тр) = 5*180 = 900 градусов.

И, наконец, вычитаем из суммы углов в 5 треугольниках сумму синих углов и получаем сумму красных:

S(K) = S(5 тр) - S(С) = 900 - 720 = 180 градусов.

Теорема доказана.

Все вершины звезды лежат на окружности. Между соседними вершинами дуга равна 72 градуса

360:5=72

То есть фактически мы имеем 5 вписанных углов по 72 градуса(как, например, угол образованный вершинами звезды с номерами 1,,3,,5.

Из геометрии известно, что величина вписанного угла, равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Угол 1,,3,,5 опирается на дугу в 72 градуса. Значит , его величина равна :

72:2=36

Таких углов 5

Тогда сумма углов в вершинах звезды будет равна:

36*5=180

Ответ:180 градусов.