Петя, конечно, не одинок в своих заблуждениях. Но для этого, в том числе, мы и ходим в школу - разубеждаться в очевидном.

Итак, глагол, конечно, как и любая самостоятельная часть речи, может быть разным членом предложения. Тут важно правильный вопрос поставить. Например,

• пришел - с какой целью? зачем? - извиниться - тут понятно по вопросу, что это обстоятельство - цели.
• начал + петь - начало действия. Это сказуемое, составное глагольное.
• разрешение - какое? - уйти - тут смотрим снова на вопрос - определение.
• жить - что? - выступает в роли подлежащего, поэтому и тире, ведь еще один инфинитив в предложении - служить (что такое?) - сказуемое.

Инфинитив в переводе с латинского infinitus-«неопределенный» представляет собой начальную форму глагола без определения его непостоянных грамматических признаков: времени, лица, числа. Лексемы в этой начальной форме отвечают на вопросы: что делать?, что сделать? и заканчиваются на -ть, -ти, -чь.

Для школьника Пети задание по русскому языку на предмет определения синтаксической роли инфинитивов, возможно, не является простым, так как данная форма способна быть любым членом предложения.

• Я пришел извиниться перед вами.-обстоятельство цели.

• Он вышел на сцену и начал петь.-сказуемое.

• Ты даже не попросил разрешения уйти.-определение.

• Жить-родине служить.-подлежащее.