как известно, сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения бинома (a + b)ⁿ равна 2ⁿ - доказательство элементарное: (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ

также известно, что С(n, k) = С(n, n-k)

при этом, если n - нечетное число, то для каждого нечетного k: число (n-k) будет четным, значит:

• сумма ΣС(n, k) для всех нечетных k ≤ n
• будет равна сумме ΣС(n, m) для всех четных m ≤ n

таким образом:

• если множество содержит n = 101 элемент, то ΣС(n, k) для всех нечетных k ≤ n будет равна: 2¹⁰¹ / 2 = 2¹⁰⁰
• если множество содержит n = 103 элемента, то ΣС(n, k) для всех нечетных k ≤ n будет равна: 2¹⁰³ / 2 = 2¹⁰²

при этом, по условию Задачи:

сумма ΣС(n, k) для всех нечетных k ≤ n равна 2¹⁰¹

значит, множество содержит 102 элемента - других вариантов нет

Ответ: 102 элемента