Имя существительное Buerger/ein, der Buerger/ в современном немецком языке имеет несколько значений. Изначально оно, действительно, употреблялось для обозначения и жителя средневекового бурга/крепости/нем. Burg/, и его защитника.

Со временем слово приобрело более широкое значение: сейчас так называют и граждан государства, и жителей городов и местечек, напр., граждане федеральной республики, жители города = Bundesrepublik /der Bundesrepublik, der Stadt.

Слово "гамбургер"/нем. Hamburger - это не что иное как субстантивированное прилагательное (прил-е, ставшее существительным) образованное от имени собственного Гамбург/нем. Hamburg. Эта еда была изобретена в Гамбурге, разошлась по свету, зафиксировав в своём наименовании название этого северного немецкого города. Кстати, житель Гамбурга - тоже гамбургер.

Обращаю внимание на разное современное написание и произношение слов даже в русском языке - "бюргер" и "гамбургер".

Да, и то, и другое встречается и как фамилия. По крайней мере, в немецкоязычных странах они не так и редки.

Бюргер - это дословно с немецкого "горожанин".

В русском языке слово имеет коннотацию "мещанин", обычно немецкий.

Кстати, слово "буржуй" - однокоренное, только из французского языка, и по смыслу тоже близкое.

Слово "бургер" тоже происходит от этого же корня, но это сокращение от "гамбургер", что значит "Гамбургский". Так раньше называли то ли сорт колбасы, наподобие "Краковской", то ли вид стейка. Немецкие мигранты привезли это блюдо в Америку, и понеслась...