Если говорить о республиканской и демократической партия США - то на названия можно внимания не обращать. Куда важнее та политика, которую проводит администрация, сформированная представителями той или другой партии. Вот сейчас была администрация, сформированная представителями демократов, теперь им на смену приходят республиканцы. Ну окей, запасаемся попкорном и следим за сюжетом...

Если же отвязаться от идентификаторов, то демократия и республика - это круглое и тёплое. Это о разном.

Демократия есть термин, описывающий принцип, по которому в государстве формируются органы власти. Аеть разного рода начальники, от самых мелких до самых важных, могут назначаться чьей-то единоличной волей (монархия или теократия), либо назначаться чисто из принадлежности к какой-либо особой страте (нечто типа кастовой системы) - а могут избираться населением на честных и прозрачных выборах с равным к ним доступом. Это и есть "демократия".

А республика - это форма устройства государства. Не то, как формируется власть, а то, как устроен госаппарат. И как правило, демократической форме отбора людей на властные должности присуща республиканская форма организации госаппарата. Когда высшие полномочия принадлежат избираемому населением парламенту. Это ведь не обязательно именно так - в Древней Греции была демократия, но не было республики, парламент появился лишь в Риме.