найдите наименьшие положительные значения x и y, удовлетворяющие уравнению

(sinx + cosx)(√3siny + cosy) = 2√2

Синус суммы двух углов α и β равен: sin(α + β) = sinα * cos β + cosα * sinβ

sinx + cosx = √2sin(x + π/4)

√3siny + cosy = 2sin(y + π/6)

подставляем, получаем:

√2sin(x + π/4) * 2sin(y + π/6) = 2√2

sin(x + π/4) * sin(y + π/6) = 1

т.к для любого угла α: |sinα| ⩽ 1, то это значит:

• либо sin(x + π/4) = 1 и sin(y + π/6) = 1
• либо sin(x + π/4) = -1 и sin(y + π/6) = -1

которые имеют решения:

• x + π/4 = π/2 + 2πk и y + π/6 = π/2 + 2πn, наименьшее положительное решение: x = π/4 и y = π/3
• x + π/4 = -π/2 + 2πk и y + π/6 = -π/2 + 2πn, наименьшее положительное решение: x = 5π/4 и y = 4π/3

Ответ: наименьшее положительное решение: x = π/4 и y = π/3