Это всё базируется, во-первых, на том, что у нас десятичная позиционная система счисления, а во-вторых, у нас делитель равен или девяти, или трём. А девять — это наибольшая цифра нашей системы (впрочем, не сама цифра имеет величину, а однозначное число, которое ей соответствует...). А два разных делителя в вопросе фигурируют потому, что 9 кратно трём, так как 9 — квадрат простого числа, а все квадраты (вторые степени) имеют нечётное количество делителей. Но единицу мы не рассматриваем (все числа кратны 1 — признак делимости на единицу банально ненужный, лишний).

В общем, я намекаю на то, что поскольку 9 кратно 3, то у нас признаки делимости на то и на другое будут сходны, аналогичны друг другу.

А суть доказательства состоит в том, что для начала мы наше потенциальное делимое разобьём на разрядные слагаемые, а затем из каждого слагаемого ещё и выделим маленькую величину, равную соответствующей цифре. В итоге вся сумма разбивается на два компонента: больший компонент с коэффициентами в виде чисел из одних девяток и маленькая сумма цифр. А зависеть всё будет от второй составляющей!

Попробую пояснить на примере пятизначного числа <abcde>. Т. е. первая цифра равна a, вторая b, третья c, четвёртая d, пятая e.

<abcde> = a•10⁴ + b•10³ + c•10² + d•10¹ + e•10⁰ = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e.

Теперь мы каждое из пяти слагаемых (за исключением монолитного пятого) должны разбить на две составляющих, в каждом случае "выделив" маленькое слагаемое, равное соответствующей цифре.

10 000a + 1000b + 100c + 10d + e = 9999a + a + 999b + b + 99c + c + 9d + d + e.

А сейчас нужно эту сумму сгруппировать, разбив на две группки (большое число с коэффициентами, кратными 9) и тот компонент, который девяток в явном числовом виде не содержит.

9999a + a + 999b + b + 99c + c + 9d + d + e = (9999a + 999b + 99c + 9d) + (a + b + c + d + e).

И здесь нам пригодится знание делимости суммы, а ещё немного делимости произведения!

1) Если сумма состоит из нескольких слагаемых (вообще любое натуральное число их) и они все делятся на нечто, то и вся сумма разделится на это самое нечто.

2) Но если сумма состоит из в точности двух слагаемых и из них ровно одно делится на кое-что, однако другое слагаемое — нет, то сумма не разделится на это самое кое-что.

3) Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на что-то, то этого уже достаточно (но не необходимо), чтобы всё произведение было кратно этому самому чему-то...

9999a + 999b + 99c + 9d = i;

a + b + c + d + e = j.

Мы видим, что i гарантированно делится как на 9, так и на 3, поскольку там четыре слагаемых и каждое из них содержит сомножитель 9 (кратный как 9, так и 3).

А значит, вся судьба, весь вердикт о кратности находится целиком в руках у j!

Если j делится на 9, то согласно правилу № 1 (выше) всё число <abcde> кратно как 9, так и 3.

Однако если j не кратно трём, то согласно правилу № 2 у нас только одно [а именно первое] слагаемое кратно 9 (и 3), — значит число <abcde> ни 9, ни 3 не кратно.

Наконец, может быть случай, когда j кратно трём, но не кратно девяти. Что ж, если у нас такая оказия, то и всё наше число <abcde> кратно трём, но не кратно девяти.

Можно, конечно, пойти дальше, продвинувшись в рассуждениях, и сказать: какой остаток от деления на 3 (или же на 9) даёт j, то есть сумма цифр числа <abcde>, такой остаток от деления на 3 (соответственно на 9) даст и само наше число <abcde>.

Я доказал всё это для пятизначного числа, но так же доказывается этот признак для любого натурального числа, сколько бы цифр в нём ни было.