Данную задачу можно рассмотреть в несколько более общем виде. А давайте-ка попробуем расширить множество чисел: будем рассматривать все трёхзначные числа! Нам в конце только лишь придётся проверить, попал ли наш ответ (если такое подходящее число найдётся в принципе) в диапазон от 100 до 500.

Итак, решаем задачу сперва для трёхзначных чисел.

Во-первых, 7! = 5040, 8! = 40 320, а 9! = 362 880. Каждое из этих трёх чисел содержит более трёх цифр. Наше же "волшебное" гипотетическое число (если таковое существует) только трёхзначное. Становится понятно, что ни одна из цифр искомого Лизиного числа не могла быть равна ни 7, ни 8, ни 9 (наличие любой из этих цифр даст перебор).

Что насчёт шестёрки? Шесть факториал равно 720 (значит, набегает сумма как минимум 720). Это автоматически означает, что первой цифрой искомого числа Лизы должна быть или семёрка, или восьмёрка, или девятка. Но погодите: в предыдущем абзаце мы установили, что сие есть невозможно. Цифр 7, 8 и 9 у нас точно нет. Возникло противоречие. Выходит, что и шестёрки у нас тоже не имеется.

Теперь мы точно знаем, что каждая из трёх цифр заведомо не превышает пяти.

Но давайте подойдём к данному вопросу с другой стороны... А может быть, ни одна из трёх цифр не превышает четвёрки? Тогда максимальная сумма, которую мы набираем, равна 4! + 4! + 4! = 3 * 24 = 72 — это число двузначное, а нам нужно получить трёхзначное... Мы определили, что как минимум одна пятёрка у нас должна быть точно. Без неё нам не обойтись никак.

Но, может быть, их, пятёрок, там три? Однако становится очевидным, что нет, ибо 5! + 5! + 5! = 3 * 120 = 360.

А может быть, пятёрок две? Нужно перебрать все комбинации. Дело облегчает то, что сложение обладает переместительным свойством. Учтите, что мы знаем, что у нас нет цифр 6, 7, 8 или 9.

5! + 5! + 0! = 120 + 120 + 1 = 241;

5! + 5! + 1! = 120 + 120 + 1 = 241 (аналогично);

5! + 5! + 2! = 120 + 120 + 2 = 242;

5! + 5! + 3! = 120 + 120 + 6 = 246;

5! + 5! + 4! = 120 + 120 + 24 = 264.

Перебрав пять комбинаций, мы пришли к выводу, что ни одна из них не дала числа с двумя пятёрками. Значит, делаем вывод, что пятёрок у нас не две, а только одна.

Одна пятёрочка уже даст "заряд" в 120 баллов. Две остальные цифры теоретически могли бы варьироваться до двух нулей до двух четвёрок. В первом случае общая сумма факториалов цифр равна 5! + 0! + 0! = 122, а во втором случае она равна 5! + 4! + 4! = 120 + 48 = 168. Как видим, все эти суммы гарантированно заключены между 122 и 168 — первая цифра всегда одинакова и равна единице. Мы нашли первую цифру (она может быть равна только 1).

Остаётся добросовестно проверить комбинации вида <1a5>/<15b>, учитывая ещё и то, что ни a, ни b не может превышать четырёх. Да к тому же здесь ещё одно подспорье: нас снова выручит тот факт, что сложение коммутативно. Значит, будет достаточно рассмотреть сочетания, а не размещения данных цифр.

1! + 0! + 5! = 1 + 1 + 120 = 122 (не годится хотя бы потому, что здесь банально нет цифры 5);

1! + 1! + 5! = 1 + 1 + 120 = 122 (не годится);

1! + 2! + 5! = 1 + 2 + 120 = 123 (не годится);

1! + 3! + 5! = 1 + 6 + 120 = 127 (не годится);

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145. Эврика!!!!!

Итак, число 145 обладает требуемым свойством. И оно не больше, чем пятьсот.

Для двузначных чисел можно сделать аналогичный анализ, но он будет куда как проще. Понятно, что у нас теперь не может быть цифр 5, 6, 7, 8 или 9. [Ибо 5! = 120 — трёхзначное число, а у нас двузначное.]

Остаётся проверить следующие комбинации:

1! + 0! = 1 + 1 = 2;

1! + 1! = 1 + 1 = 2;

1! + 2! = 1 + 2 = 3;

1! + 3! = 1 + 6 = 7;

1! + 4! = 1 + 24 = 25;

2! + 0! = 2 + 1 = 3;

2! + 2! = 2 + 2 = 4;

2! + 3! = 2 + 6 = 8;

2! + 4! = 2 + 24 = 26;

3! + 0! = 6 + 1 = 7;

3! + 3! = 6 + 6 = 12;

3! + 4! = 6 + 24 = 30;

4! + 0! = 24 + 1 = 25;

4! + 4! = 24 + 24 = 48.

Как мы видим, ни одна из них не подошла. Делаем вывод: среди всех девяноста двузначных натуральных чисел нет ни одного с требуемым свойством...

Ну а среди однозначных два таких числа всё-таки есть. Очевидно, что это числа 1 и 2.

Мой окончательный ответ будет таков. Требуемым свойством у Лизы обладают три выписанных ею числа́: а именно, это чи́сла 1; 2; 145.