Эту задачу нам когда-то предлагал на уроке физики наш замечательный лицейский педагог Игорь Юрьевич Немцев (ныне, по состоянию на 2024 год, к сожалению, покойный; он умер вроде бы в 2021 году из-за того, что у него оторвался тромб). В варианте Игоря Юрьевича вместо Зайца был человек, а вместо Волка — людоед. Есть ещё вариант с уткой и лисой соответственно, что никоим образом не меняет сути происходящего... И жертва и охотник считаются материальными точками, они в данной задаче нулевого размера.

Я бы хотел кратко попробовать пояснить, в чём тут "фишка". Строго не судите. Просто хотел бы высказать базовые идеи, которые применяются при решении такого типа математико-физических задач.

Если Заяц при высадке на берег не столкнётся с Волком сразу же, то жертва спасается! Нам нужно, чтобы в момент высадки жертвы на бережок в той точке не было одновременно ещё и охотника.

Продуманный алгоритм спасения состоит, строго говоря, из трёх этапов.

1) Сначала Зайцу нужно крутиться по спирали (но по какой именно: по Архимедовой или по логарифмической? ох, очень каверзный вопрос... пока сложно на него ответить).

2) Благоприятный момент для смены траектории наступает тогда, когда Заяц и Волк окажутся на одном диаметре, но по разные стороны от центра круга, то бишь когда угол между заячьим и волчьим радиусом станет развёрнутым. Тогда жертва должна немедленно прекратить вертеться по спирали и начать плыть по отрезку прямой, а именно по своему радиусу, по направлению к ближайшей точке озера (окружности).

3) Выйдя на берег, медлить не нужно, а надо сразу накивать пятками! В случае с уткой — просто сразу улететь. [В версии задачи, которую я читал, предполагалось, что утка неспособна взлететь с воды, а способна только с суши.]

А. На начальном этапе Зайцу нужно стремиться упорно накрутить угол между своим и волчьим радиусом от нулевого до стабильного и гарантированного развёрнутого. (Естественно, Волк будет стремиться этот угол уменьшить, в идеале снова обратив его в нуль.) В каком случае для Зайца будет возможно противодействовать волчьему стремлению к уменьшению угла? В том случае, когда угловая скорость жертвы будет больше угловой скорости охотника. Угловая скорость обозначается в виде ω, и она равна отношению линейной скорости к радиусу траектории вращения [для окружности это точно верно, а для спирали? Эх, хотелось бы верить, что и для спирали тоже в какой-то мере это правильно, но точно я не уверен!].

Пусть v — это линейная скорость Зайца в воде, тогда согласно условию у Волка на суше скорость равна 4v. Давайте обозначим буквой r радиус нашего озера. Обозначим иксом то расстояние от Зайца до центра озера, которое благоприятно для Зайца, чтобы тот мог накручивать угол. Получается такое неравенство:

ω(Зайца) > ω(Волка);

v/x > 4v/r;

обе части неравенства сокращаются на вэ, ибо это очевидно ненулевое число;

1/x > 4/r;

истинное неравенство a/b > c/d равносильно тому, что ad > bc (согласно перекрёстному свойству дробей);

r > 4x;

4x < r;

x < r/4.

Полагаю, что при таком расстоянии от себя до центра водоёма Заяц сможет гарантированно обдурить Волка. Там ещё в комментариях на одном сайте рассуждали: Волк — разумное существо? Он ведь будет поворачивать, менять направление своего бега по берегу? Мне почему-то кажется, что бо́льшая угловая скорость Зайца даст последнему преимущество независимо от того, поворачивает Волк или нет.

Б. С другой стороны, как найти тот удачный благоприятный момент для перехода от спирали к отрезку прямой? Для выхода на прямую должны выполняться уже совсем другие условия!

Весь заячий радиус — это эр (расстояние от ближайшей к Зайцу точки окружности озера до его центра). А расстояние от Зайца до центра озера по-прежнему икс, это та же самая переменная!

Нам нужно, чтобы отрезок длиной r – x жертва проплыла быстрее, чем охотник по суше добрался до диаметрально противоположной точки озера. Ясно, что расстояние охотника — это полуокружность, самая большая дуга (при этом совершенно неважно, побежит Волк налево или направо...). Длина полуокружности равна пи, умноженному на эр. Итак, для успешной высадки жертвы время Зайца от момента смены формы траектории до выпрыгивания на сушу должно быть строго меньше времени Волка! [Нестрогое неравенство нам не годится: одновременное прибытие означает, что Волк Зайцем таки полакомится.]

(r – x)/v < πr/(4v);

умножаем на вэ обе части, дабы избавиться от параметра в знаменателе;

r – x < πr/4;

r – πr/4 < x;

x > 4r/4 – πr/4;

x > (4 – π)r/4.

И теперь осталось посмотреть: совместна ли система финальных неравенств, которые получились в пунктах А и Б? Это острейший вопрос, от ответа на который будет зависеть успех всей нашей операции по спасению!!!

А. x < 0,25r;

Б. x > (4 – π)r/4. Пи — число трансцендентное... Для практических вычислений в рациональном приближении можно заменить данное неравенство на более грубое, приближённое: x > 0,2146r.

Мы видим, что система таки совместна. Решения есть. Можно выбрать икс равным 0,22r, или 0,23r, или 0,24r... Так что да, ответ получился положительным: мы обнаружили, что Заяц при таком раскладе всегда сможет спастись!

Однако полный разбор задачи на этом не заканчивается... Я изложил только то, что подвластно моему скромному невысокому интеллекту, — нечто элементарное. Подробнее можно почитать здесь; я так понял, что дальше жертве нужно подумать ещё и о детальном построении само́й спирали.

Видимо, имелось в виду, что Заяц — разумный мыслящий зверь. (Это Заяц из мультфильма „Ну, погоди!“? Почему он с прописной буквы?) С человеком и людоедом задача выглядит куда как более практично. Теперь нужно думать, как провести измерения на практике, но это уже вопрос другого плана. Хорошо было бы, если бы у человека была с собой громадная рулетка! Определение центра — честно говоря, даже не знаю, как это осуществить на практике с озером (в геометрии для этого в окружность вписывают какой-либо треугольник, строят его серединные перпендикуляры и смотрят, где они пересекаются). Но, может быть, центральная точка там как-нибудь обозначена (каким-нибудь буйком)? Ещё понадобится знание своей линейной скорости при плавании; наверное, это можно было замерить ранее, так что это личная информация, которую при случае можно было измерить, если человек любознателен... Ну и самым сложным, наверное, будет измерение скорости людоеда.

Потому для вашего проходного вопроса ответ будет таков.

Да, зайчик сможет спастись.

Так как волк бегает лишь в 4 раза раза быстрее. То заяц отплыв на (R - (3,14/4)R) = 0,215R, можно чуть больше но менее 0,25R. Будет плавать по окружности более чем в 4 раза меньшей и будет обгонять волка. Так будет плыть пока волк не окажется на противоположной стороне.

А дальше рванет к берегу в противоположном направлении от волка. Волку скорости уже не хватит. Так как у зайца расстояние меньше чем πR/4