Как решить: Лежали шариков 6 ⩽ n ⩽ 100. Сколько значений у n (см.)?
ВСОШ Муниципальный этап Математика 9 класс Москва
По кругу лежали n шариков, где 6 ⩽ n ⩽ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?
Ответы (1)
Решая эту задачу, стал моделировать при разных n.
При n=6 такую комбинацию построить невозможно: 1∅∅2∅∅ - куда бы мы не поставили 3-й шар, между ним и соседним 2-м не получится ровно 2 шара.
При n={7, 8} такую комбинацию построить можно. Например:
n=7 => 1∅∅2∅∅3 => 1∅42∅53 => 1642753
n=8 => 1∅∅2∅∅3∅ => 14∅25∅36 => 14725836
А вот при n=9 такую комбинацию не построить: 1∅∅2∅∅3∅∅ - и тут уже 4-й шар некуда поставить, чтобы между ним и 3-м шаром было ровно 2 других шара.
По индукции доказываем, что при n нацело делящемся на 3 построить такую комбинацию невозможно. Это очевидно. От 6 до 100 таких значений 32 {6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99}.
То есть n может принимать (100-6+1)-32=63 различных значения.
ВКонтакте