Мне немного любопытно: это всё одно упражнение? Или, может быть, их здесь два? Абзацев-то точно два (но я не беру в расчёт заголовок и сам текст заданий). А может быть, упражнение одно, но составители решили выделить в нём две части.

Первая часть нашего упражнения касается такого правила русской орфографии, как непроизносимые согласные. Нам лучше всего будет подобрать проверочные слова таким образом, чтобы в сомнительном месте после нужной нам согласной стоял гласный. Почему я настаиваю на гласном? "Должностной" — формально проверочное слово здесь "должность", но на конце слова находятся два глухих шумных. Мы рискуем совершить обратную ошибку (может быть, какой-то "грамотей" <иронические кавычки> напишет *должноздь). Впрочем, согласно букве правил мы должны подобрать такое проверочное слово, чтобы сомнительная согласная хорошо слышалась, если она там в корне вообще имеется как таковая...

Итак:

• должностной — должность (но лучше проверить родительным падежом/множественным числом: должности);
• чудесные окрестности: чудесные — чудеса (после С идёт сразу гласная, а никакого Т там нет!); окрестность — окрест (видимо, не получится подобрать слова с гласной после Т, но чёткий звук [т] тут гарантированно есть);
• агентство — агент/агенты;
• предвестник — вести, известие...;
• чествовать — честь, чести, честен;
• адвокатская — адвокат/адвокаты, а ещё адвокатура;
• устный — уста (архаизм по отношению к слову "губы");
• участковый — участок;
• костный vs косный. Это пара омофонов! Два прилагательных пишутся по-разному и имеют совсем разное значение, но произносятся идентично. Костный мозг — можно проверить словом "кости", "косточки". Косные взгляды (отсталые) — поскольку это качественное прилагательное, то можем проверить краткой формой мужского рода (косен — вопрос "каков?");
• местное — место, местечко, уместиться и пр.;
• парламентские — парламент, парламентарий...;
• от опасности — проверочное слово "опасен" (снова краткая форма), но "опасение" тоже подойдёт [мы видим, что после С никакого Т не имеется];
• частный — часть, части;
• президентский — президенты;
• беспристрастное — страсти;
• искусная — краткая форма мужского рода выглядит как "искусен" (нет Т!);
• голландский — Голландия, голландец;
• словесность — словеса (устаревший вариант сло́ва "слова́"; -ес- — это одно из русских наращений, прокладок между корнем и окончанием; согласно школьной программе это -ес- рассматривается как суффикс; в словах "чудеса" и "чудесный" оно тоже есть);
• комендантский — коменданты;
• властные — власти.

Давайте я дам окончательный вариант со вставленными буквами, но только в виде цитатного блока.

Переходим ко второй части. Здесь есть примеры орфограмм как на парные согласные по признаку звонкости/глухости, так и на непроизносимые. Мне хочется не только вставить пропущенные буквы, но ещё и объяснить, почему так, а не иначе.

• подтаявший снег: 1) русская приставка "под-" имеет фиксированное написание независимо от корня, так что она может писаться только так (хотя произноситься может по-разному, в том числе и как [пат]); 2) суффикса -фш- причастий не существует, а есть суффикс -вш-, да ещё и к тому же буква Ф в принципе нехарактерна для слов исконно русского происхождения;
• замёрзшие: конечную согласную З корня можно проверить словом "мёрзнуть" (Н сонорная — проверка годится), а ещё "замерзать" и т. д.;
• дворняжки (приложение при слове "собаки"): достаточно поставить это существительное в родительный падеж множественного числа (нет дворняжек — чётно слышится звук [ж]);
• косьба: тут у нас озвончение шумного С, частный вид прогрессивной ассимиляции, ибо последующая Б у нас звонкая. Проверяем словом "косить" или "косарь" и т. п.;
• изморось/изморозь: снова мы натолкнулись на блок омофонов. Если пишется "изморось", то это означает мелкий дождь (проверяем словом "моросить"). Если речь идёт об инее, то проверочное слово "морозы";
• бестелесная: проверяем словом "телеса" аналогично словесам (см. часть 1 моего ответа). [Я так понимаю, что прочие орфограммы в данном случае выполняющему задание ученику не обязательно объяснять? В частности, приставка бес-/без- меняет своё написание в зависимости от первой согласной буквы корня (Т — глухая, поэтому перед Т пишется приставка "бес-").];
• завистливый — проверочное слово "зависть" (зависти, завистью...);
• безмолвствует — проверочное слово "безмолвие";
• искусная — это прилагательное уже было в первой части, проверяется оно словом "искусен" (краткая форма мужского рода ед. числа);
• чествование — чести, честен <странно, кто-то может здесь ошибиться? после Т идёт буква В, перед которой Т должно практически всегда хорошо произноситься>;
• участвовал — видимо, можно проверить словом "участие" (знаю, что есть люди, которые пишут *учавствовал, но это неверно);
• ровесники — это слово непроверяемое, а непроизносимой буквы Т здесь нет; как известно, о написании непроверяемых слов нужно осведомиться в словаре;
• грустное — проверяем словами "грусть/грусти" <гриб груздь здесь ни при чём, так что лучше, конечно, взять косвенный падеж!>, "грустен", "грустит";
• чувство — опять непроверяемый случай, но на сей раз непроизносимая согласная (а именно первая буква В) тут как раз есть. Опять консультируемся со словарём, если кто-то вдруг не помнит данное слово;
• сверстник — всё так же, как и со словом "чувства", хотя это частичный синоним слова "ровесник"... Тоже непроверяемый случай, буква Т здесь есть — смотрим в словарь!

Привожу полный текст второй части упражнения с правильно вставленными буквами вместо ранее бывших там многоточий.

Ну это школьная программа по русскому языку. Не так вроде давно занимался с сыном. Надо применять поверочные слова и всё. Если в проверочной слове стоит пропущенная буква значит в слове она есть. Упражнение 1 ДолжосТной–должность, чудесные –чудеса, окрестности–окрест, агенТство–агент, предвесТник- Весть, чесТвовать–честь, адвокатская–адвокат, устный–уста, учасТковый –участок, косТный–кость, косТные–косточки.месТное–место, парламенТские–парламент опасности–опасения,часТный–часть, президенТский –президент, безпристрасТное–страсть, искусТная –искусство, голланДский –Голландия словесность–словеса(слово) коменданТский–комендант,, власТные–власть. 2) Подтаявший снег замёрзшие в январе собаки дворняжки, июльская коСьба,, дождь превратился в изморозь,белая изморозь покрыла деревья, безтелесная девочка, завистливый взгляд, природа безмолвствует, искусТная работа, чествование победителей, он участвовал в кроссе, ровесники по годам, грустное чувство, дети сверстники.