1. Рассмотрим первую сумму девяти всех однознаковых чисел. Для них ничего не поменялось.

1+2+...+9 = 10*9/2 = 45

2. Теперь рассмотрим двузначные числа.

цифры любого числа k вида "n1n2" можно записать в виде выражения

n1 = k/10 (цифра первого разряда - количество десятков в числе, то есть, неполное частное от деления на 10)

n2 = k%10 (цифра второго разряда - количество единиц в числе, то есть, остаток от деления на 10)

После Васиной корректировки вместо их суммы получим выражение вида:

∑(n/10 * n%10) где n пробегает значения от 11 до 99:

(1*1 + 1*2 + ... + 1*9) + (2*1 + 2*2 + ... 2*9) + ... + (9*1 + 9*2 + ... + 9*9)

• нули мы сразу из суммы исключим, оставив только цифры 1..9

можем переписать это, вынеся множители за скобки:

1*(1 + 2 + ... + 9) + 2*(1 + 2 + ... 9) + ... + 9*(1 + 2 + ... + 9)

То есть, для каждого нового десятка первый множитель будет увеличиваться на 1, а второй пробегать по всем цифрам от 1 до 9, что можно записать так:

∑n*(1+2+..9) где n пробегает по цифрам старшего разряда от 1 до 9. Выносим (1+2+..9) из суммы и получаем:

∑n*∑k где n=[1..9] и k =[1..9]

но значение такой суммы мы уже нашли в 1 пункте, оно равно 45.

Значит, ∑n*∑k = 45*45 - это сумма произведений цифр для чисел 11..99

Прибавим к этому числу нашу первую сумму - 45

и получим значение для всех чисел от 1 до 99: 45*45 + 45.

3. С трёхзначными аналогично: благодаря Васе, каждое число превратится в запись вида:

(n/100 * n/10 * n%10) // n/100 - разряд сотен, n/10 - разряд десятков и n%10 - разряд единиц

а сумма таких чисел - в

∑(n/100 * n/10 * n%10) где n принимает значения от 111 до 999 // первый десяток содержит ноль, его опускаем.

опять замечаем, что первый множитель n/100 будет пробегать значения от 1 до 9 для каждой сотни.

А в каждой сотне будет считаться сумма произведений цифр всех чисел от 11 до 99.

Но мы уже эту сумму посчитали: это 45².

То есть, выражение суммы произведений цифр всех трёхзначных чисел будет равно

(1+2+...+9) * (45*45) = 45*(45²) = 45³.

Остаётся к этому прибавить значение для всех чисел меньших 100: 45²+45.

Получили:45³+45²+45 =

Выполним следующий подсчет:

Сумма членов арифметической прогрессии

s= 1+2+3+..+9 = 9/2*(1+9) = 45

1*0 + 1*1+1*2+1*3+...+1*9 =1*s=45

2*0 + 2*1+2*2+2*3+...+2*9 =2*s

9*0 + 9*1+9*2+9*3+...+9*9 =9*s

s0 = s*s

1*0*0 + 1*0*1 + 1*0*2 +... +1*0*9 = 0

1*1*0 + 1*1*1 + 1*1*2 +... +1*1*9 = 1*1*s

1*2*0 + 1*2*1 + 1*2*2 +... +1*2*9 = 1*2*s

1*3*0 + 1*3*1 + 1*3*2 +... +1*3*9 = 1*3*s

1*9*0 + 1*9*1 + 1*9*2 +... +1*9*9 = 1*9*s

Тогда сумма чисел первой сотни членов ряда

s1 = 1*s*(1+2+...+9)= 1*s*s

Подсчет для второй сотни

2*0*0 + 2*0*1 + 2*0*2 +...+2*0*9 = 0

2*1*0 + 2*1*1 + 2*1*2 +...+2*1*9 = 2*1*s

2*2*0 + 2*2*1 + 2*2*2 +...+2*2*9 = 2*2*s

2*3*0 + 2*3*1 + 2*3*2 +...+2*3*9 = 2*3*s

Сумма членов второй сотни

s2 = 2*s*(1+2+...+9)= 2*s*s

Аналогично для остальных сотен

s3=3*s*s

...

s9=9*s*s

Вся сумма от 1 до 1000 состввит

s+s*s+1*s*s+2*s*s+...+9*s*s = s + s*s +s*s*s =

45 + 45*45 + 45*45*45 = 45 + 2025+ 91125 = 93195