Как решить: В остроугольном треугольнике АВС провели высоты ВВ₁ и СС₁?
В остроугольном треугольнике АВС провели высоты ВВ₁ и СС₁. Точки М и N являются серединами сторон АС и АВ соответственно. Прямая С₁М повторно пересекает описанную окружность треугольника ВСС₁ в точке X. Точка О является центром описанной окружности треугольника В₁МХ.
Найдите ON, если АВ=10, В₁М=3, ∠A=60°.
Ответы (1)
В этой задаче самое сложное - произвести построение.
Да, на этом страшном рисунке изображены только условия, без дополнительных построений, чтобы не перегружать )
Решение
1. Треугольник AB1B - прямоугольный (т.к. B1 - высота)
Значит, ∠ABB1=90°-60°=30°
А значит, AB1 = sin30° * AB = 1/2 * AB = 5
Но так как N - середина AB, то AN тоже равно 5
То есть, треугольник NAB1 - равнобедренный.
Значит, его углы в основании NB1 равны между собой:
∠ANB1 = ∠AB1N = (180°-60°)/2 = 60°
Выходит, треугольник NAB1 - ещё и равносторонний.
Значит, NB1 = 5.
2. C1M || NB1 так как в прямоугольном треугольнике AC1C угол C = 30°,
значит AC1 = 1/2*AC = AM, и угол в вершине треугольника AC1M = 60°.
То есть, AC1M - тоже равносторонний треугольник, и все его углы = 60°
а так как C1M || NB1
то ∠C1MB1 = ∠MB1O = 60°.
То есть, O лежит на прямой MB1
3. из п.(3) ∠MB1O = 60°
но OB1 и OM - радиусы окружности, значит, они равны.
значит и ∠OMB1 = ∠MB1O = 60°
То есть, треугольник OMB1 - тоже равносторонний => OB1 = MB1 = 3
Искомый отрезок ON является суммой NB1 + OB1 = 5 + 3
ВКонтакте