Как решить: В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину?
В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из
вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см², а наименьшая 24 см². Обозначим х см² площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений х.
Ответы (1)
Нарисуем наш параллелепипед.
Пусть верхняя грань - наименьшая, с площадью 24 см², слева от неё торчит жёлтая - это будет наибольшая, с площадью 240 см².
а грань с площадью x - серая, которая обращена к нам.
назовём рёбра, сходящиеся в выбранной Петей вершине a, b, c.
Запишем:
a*b = 24, то есть, b = 24/a
b*c = 240, подставим b = 24/a
(24/a)*c = 240 = > c = 10*a
Площадь x = a*c, подставим c = 10a:
x = a*10a = 10*a²
Окей, ещё мы знаем, что 24 - наименьшая площадь, а 240 - наибольшая.
то есть, 24 ≦ x ≦ 240
следовательно, 24 ≦ 10a² ≦ 240
√2,4 ≦ a ≦ √24
так как все числа по условию целые, получаем:
2 ≦ a ≦ 4
то есть, a может принимать 3 значения: 2,3,4
а так как x = 10*a², х может принимать значения 40, 90, 160
Сумма всех таких значений будет равна
ВКонтакте