12 делителей в списках Насти и Даши, как решить задачу?
Настя написала трёхзначное число, приписала к нему его же, а у полученного шестизначного числа выписала все натуральные делители.
Затем Даша сделала то же для своего трехзначного числа. Может ли оказаться так, что ровно 12 делителей в их списках совпадут?
Ответы (2)
Делители числа 247247:
1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 169, 209, 247, 1001, 1183, 1463, 1729, 1859, 2717, 3211, 13013, 19019, 22477, 35321, 247247
Делители числа 299299:
1, 7, 11, 13, 23, 77, 91, 143, 161, 169, 253, 299, 1001, 1183, 1771, 1859, 2093, 3289, 3887, 13013, 23023, 27209, 42757, 299299
ровно 12 совпадающих делителей
Ответ: да
p.s
Ян Альбертович - напишите, пожалуйста, про себя пару слов
откуда у Вас такие интересные задачи?
например, задача про числа Фибоначчи - Вы сами знаете ее решение?
Назовём трёхзначное число, которое записала Настя, X.
А Y - число Даши.
Тогда после приписывания к нему ещё такого числа, получится число X*1000 + X (так как число трёхзначное, значит, произойдёт приписывание трёх знаков справа, которое сдвинет его на три знака влево, что эквивалентно умножению на 1000)
X*1000 + X = X*(1000 + 1) = X*1001
Аналогично, у Даши получится Y*1001
Найдём все простые делители числа 1001. Их три:
1001 = 7 * 11 * 13.
Чтобы найти все делители, надо взять все комбинации из этих перемноженных чисел, добавив к ним единицу:
1,7,11,13,77,91,143,1001
То есть, всего 8 делителей, которые у Насти и Даши гарантированно совпадут.
Плюс ещё добавится сколько-то делителей от числа X у Насти и числа Y у Даши.
Надо добрать ещё 4, чтобы получить 12 общих для чисел девочек делителей.
То есть, наша задача - найти такие 4 числа, которые будут общим делителем и у X и у Y.
Но каждый новый добавленный делитель n прибавит в наш список общих делителей сразу 8 штук: n, 7*n, 11*n, 13*n и т.д.
То есть, уже получим 16.
Для сокращения этого списка надо взять один из уже имеющихся в наличии простых делителей.
Добавив к списку ещё одну 7, получим дополнительно: 49, 49*11=539, 49*13=637, 7007 - как раз четыре.
Осталось добавить какие-нибудь разные простые числа, одно отдать в Настино число, а второе - в Дашино. Так, чтобы при умножении на 7 получилось трёхзначное число.
Например,
29 и 31
Тогда у Насти получим 203203,
а у Даши 217217
Проверим.
Все делители 203203:
[1, 7, 11, 13, 29, 49, 77, 91, 143, 203, 319, 377, 539, 637, 1001, 1421, 2233, 2639, 4147, 7007, 15631, 18473, 29029, 203203]
Делители 217217:
[1, 7, 11, 13, 31, 49, 77, 91, 143, 217, 341, 403, 539, 637, 1001, 1519, 2387, 2821, 4433, 7007, 16709, 19747, 31031, 217217]
Общие: 1, 7, 11, 13, 49, 77, 91, 143, 539, 637, 1001, 7007
ВКонтакте