Починить можно всё. Даже такое чудо китайской одноразовой техники.

А тем более, заменить конденсатор. Но, судя по всему, этим ремонт не закончится. В вилке, похоже, залит ограничительный резистор-предохранитель. Это он и почернел при пробое конденсатора. Нужно проверить тестером вилку с проводом на обрыв. Также проверьте на пробой и диоды моста.

Если один из проводов не "звонится" - вилку обрезать и заменить на обычную. Сам резистор, обычно, имеет сопротивление до 10 Ом и с рассеиваемой мощностью 0,25 - 0,5 Вт. При ремонте, его (или предохранитель на 0,5 А вместо него) можно разместить в новой вилке, если она разборная и есть свободное место, или впаять между сетевым проводом и платой и изолировать термоусадочной трубкой.

А взорвавшийся конденсатор - электролитический, ёмкостью порядка 10 микрофарад и рабочим напряжением в 400 - 450 Вольт. Если на плате не указано куда паять "плюс" конденсатора - это к точке соединения катодов (белых колец на корпусе) диодов моста.

Ну и тестировать изделие после ремонта нужно, отнеся его подальше от глаз. А лучше всего подключить гирлянду через ЛАТР и постепенно увеличивать напряжение на ней от нуля до рабочего.

Безра­зличн­ый [286K] советует применить блок питания с разделительным трансформатором - да, это правильно, но не в этом случае.

Эта гирлянда, похоже, на 100 светодиодов и запитывается от 300 Вольт.

100 светодиодов х 3 Вольта на каждый = 300 Вольт питания.

А 300 Вольт как раз и получается после мостовой схемы выпрямления переменного напряжения в 220 Вольт.

220 х √2 = 310 В

Поэтому и взорвавшийся конденсатор нужно менять на 400-вольтовый, минимум.

И тогда разделительный трансформатор нужно брать с коэффициентом трансформации 1 : 1. Не думаю, что вы найдёте такой. И какие будут его габариты и вес, по сравнению с гирляндой?

А китаёзы замутили себе простейший бестрансформаторный выпрямитель - дёшево и сердито. Понятно, что электробезопасность на нуле. Зато - всё компактно и красиво. Да и все другие китайские гирлянды гальванической развязки по питанию не имеют. Вместо этого, у них довольно качественная изоляция всех выводов лампочек или светодиодов. И почти все из них могут работать вне помещений, даже при такой схеме питания. И это реально. У нас на офисе подобная китайская новогодняя гирлянда висит на вывеске уже больше 10 лет - под дождём и снегом. И ничего, работает без проблем. И с фазой на элементах схемы.

Странная у вас гирлянда. Такую я вижу впервые. Ну совсем уж простая. Там всегда должен быть контроллер управления. Я согласен с еще одним автором ответа, что в вилке стояло что-то токоограничивающее. Или сопротивление или конденсатор на 450В. Это что-то закоротило, потому и видно там что то сгоревшее.

Проблема из-за этого и получилась. Оно коротнуло и все напряжение приложилось к конденсатору фильтра. А он на такое напряжение рассчитан не был и взорвался. Что обычно и делают электролиты. Возможно и сам фильтрующий конденсатор был низкокачественным и все произошло наоборот. В начале конденсатор, а затем резистор (конденсатор) в вилке. В результате всего происшедшего там мог сгореть и диодный мост целиком и диоды в гирлянде. Но там не все, а слабое звено.

А теперь важное я хочу написать, о чем другой автор не упомянул. И это очень важно!!!

В подобных гирляндах обязательно должен стоять блок питания с гальванической развязкой от сети. А это значит какой-никакой трансформатор. Пусть будет с ШИМ модуляцией, но все равно с развязкой по фазе. Гирлянда висит в открытом виде. Провода и кошка может погрызть и собака и даже несмышленые дети. А там фаза имеется прямо из сети! Кроме того пожар на елке может приключиться. Прибежите с ведром воды из ванной плеснёте на ёлку и получите удар током. Возможно смертельный. В моем детстве был такой случай, правда никого не убило.

Потому мой вам совет. Купите блок питания с трансформатором. И будет вам счастье. А это все отрежьте и выкиньте. Все от вилки и до проводов на саму гирлянду. Как посчитать блок питания? По закону Ома все это считается. U=RI.