Как решить: На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники?
На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых – натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдется прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на 7 меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдется квадрат, равный ему по площади, со стороной на 7 больше, чем его ширина.
а) Может ли на столе лежать прямоугольник шириной 14?
б) Может ли на столе лежать прямоугольник длиной 28?
в) Какое наибольшее количество фигур может лежать на столе
Ответы (3)
Для решения задачи обозначим сторону квадрата х, а длину треугольника у
ширина прямоугольника будет (х-7).
Sквадрата = Sпрямоугольника,
x в квадрате = y*(x-7).
Ответим на вопросы:
а) Может ли на столе лежать прямоугольник шириной 14?
Для ответа на этот вопрос составим уравнение:
х - 7 = 14
х = 14 + 7
х = 21.
21в квадрате = у*14,
441 = у*14
63 = у*2
у = 63/2 -є- N - не удовлетворяет условию, что размеры сторон фигур являются натуральными числами.
Поэтому, это означает, что на столе не может лежать прямоугольник шириной 14.
Следующий вопрос б) Может ли на столе лежать прямоугольник длиной 28?
Для ответа на вопрос запишем следующее:
у = 28, составим уравнение:
х в квадрате = 28(х - 7),
х в квадрате - 28х + 196 = 0,
(х - 14)в квадрате = 0,
х = 14 є N. Отсюда следует, что, да, такой прямоугольник с длиной 28 и шириной 7 может лежать на столе.
в) Какое наибольшее количество фигур может лежать на столе?
В начале запишем уравнение:
х в квадрате = у*(х - 7),
у = х в квадрате / х - 7,
у = х + 7 + 49 / х - 7.
Теперь видим, что поскольку у є N и x є N, то 49 / х - 7, отсюда следует, что 49 должно делиться нацело на (х - 7).
Делители числа 49: это 1; 7 и 49.
Поэтому тогда мы получим:
[х - 7 = 1 [х1 = 8 [у1 = 64
[х - 7 = 7 [х2 = 14 [у2 = 28 Соответствующие значения длин прямоугольников.
[х - 7 = 49 [х3 = 56 [у3 = 64
Теперь можем записать следующее:
Если у квадрата сторона 8, то у прямоугольника длина 64, а ширина 1.
Если у квадрата сторона 14, то у прямоугольника длина 28, а ширина 7.
Если у квадрата сторона 26, то у прямоугольника длина 64, а ширина 49.
Это означает, что наибольшим количеством фигур, которые могут лежать на столе является 6.
Ответ: а) нет, прямоугольник шириной 14 не может лежать на столе;
б) да, прямоугольник длиной 28 и шириной 7 может лежать на столе;
в) 6 фигур это наибольшее количество фигур, которое может лежать на столе.
Если следовать условиям задачи,то на столе нет ни квадратов ни прямоугольников, так как нарушается условие, что каждому квадрату найдётся с меньшей стороной, но ряд натуральных чисел снизу ограничен, сторона не может уменьшаться до бесконечности.
ВКонтакте