В Вики есть статья Формула Гаусса - Бонне.

Суть в том, что если на какой-то компактной поверхности, например, сфере, делать вмятину, то гауссова кривизна меняется, а эйлерова характеристика - не меняется.

Формула там довольно сложная, с двумя интегралами.

Я ее здесь написать не могу, поэтому прикладываю фото.