Электротехника - это наука о контактах там, где их быть не должно, а равно об отсутствии таковых там, где они должны быть.

Вот и в вашем случае имеет место быть неуверенный контакт светильников с проводами электросети. Подобным образом раньше исправляли работу ламповых советских телевизоров - ударом в корпус.

При отключении питания контакты остывают, слегка уменьшаясь в габаритах, что и нарушает их присутствие "на холодную". Кстати, и нагреваются они при работе как раз из-за неуверенного контакта. Всего-то и надо поджать отверткой контакты проводов на их входе в блок питания светильника. Может быть понадобится сперва вынуть провод, ослабив винт, и снова вставить его в клеммное соединение в блоке питания.

Либо плохой контакт при остывших лампах, либо в случае неона- недостаточное напряжение на остальных трёх светильниках.

Напряжение и так не сильно нормальное, а после первого светильника оно падает ниже предела.

Легонький удар заставляет напряжение таки пробить газ, и светильник загорается.