Всего 13 человек на кафедре. 10 человек знают английский, 7  — немецкий, 6  — французский,

5 знают английский и немецкий, 4  — английский и французский, 3  — немецкий и французский языки.

Вопросы:

1) Сколько человек знает только английский язык?

2) Сколько чел знаю два языка?

3) Сколько чел знают все три языка?

Решение.

Во-первых, заметим, что если 10 чел из 13 знают английский, то остальные 3 его не знают.

И это как раз 3 чел, которые знают немецкий и французский.

Значит, нет ни одного человека, который знает все 3 языка. Множество знающий английский не пересекается со множеством знающих немецкий и французский.

Далее, из 10 чел, знающих английский, 5 знают английский и немецкий, а 4 - английский и французский.

Всего 9 человек, знающих по два языка, включая английский.

Значит, ровно 1 человек знает только английский язык.

И наконец, два языка знают эти 9 чел и еще 3 чел, которые знают немецкий и французский. Всего 12 чел.

Ответы: 1) 1 человек знает только английский язык.

2) 12 человек знают по два языка.

3) 0 человек знает все три языка.

Представленные задания могут попасться десятикласснику на ВПР по математике. ВПР в 10 классе ввели с 2025 года. Давайте рассмотрим, как решать подобные задачи.

Вначале я опишу принцип решения на первой задачи, потом кратко изложу, как решать остальные задачи.

Для решения поставленных задач введем буквенные обозначения.

Пусть:

А=10 - люди, которые знают английский.

Н=7 - люди, владеющие немецким языком.

Ф =6 - люди, знающие французский.

Далее мы можем составить следующие множества.

А ∩ Н - в данное множество будут входить люди, которые владеют немецким и английским.

А ∩ Ф  - английский + французский.

Н ∩ Ф - люди, знающие французский и немецкий языки.

Теперь выразим в численном значении.

А ∩ Н = 5, А ∩ Ф = 4, Н ∩ Ф = 3.

Люди, которые знают все 3 языка: А ∩ Н ∩ Ф.

Найдем количество людей, которые знают только английский.

А - (А ∩ Н + А ∩ Ф - А ∩ Н ∩ Ф) = 10 - (5+4-2) = 10 - 7 = 3 человека знают только английский.

Воспользуемся рассуждениями из предыдущей задачи.

Найдем, сколько человек знают ровно 2 языка.

А ∩ Н + А ∩ Ф + Н ∩ Ф - 3*(А ∩ Н ∩ Ф) = 5+4+3 - 32 = 12-6 = 6 человек.

Найдем количество человек, которые знают все 3 языка.

А + Н + Ф - А ∩ Н - А ∩ Ф - Н ∩ Ф + А ∩ Н ∩ Ф = 13.

10+7+6-5-4-3+ А ∩ Н ∩ Ф = 13.

Упрощаем уравнение.

11 + А ∩ Н ∩ Ф = 13.

А ∩ Н ∩ Ф = 13-11 = 2 человека знают все три языка.