Какова вероятность того, что мальчик Дональд действительно заразился корью?
в школах города Вашингтона объявлен карантин, так как 20% учащихся заболели Корью.
школьников направили проходить ПЦР-тест на наличие антител к возбудителю Кори
но как, всегда, тест не дает 100% достоверный результат, а именно:
- если заболевание действительно есть, то тест выявляет его наличие в 88% случаев.
- если заболевания нет, то тест подтверждает отсутствие заболевания в среднем в 96% случаев
мальчик Дональд - сдал ПЦР-тест и результат теста оказался положительным (в плохом смысле данного слова)
Какая вероятность того, что мальчик Дональд действительно заразился корью?
Ответы (3)
Тут задача на полную теорему Байеса.
Пусть событие A - тест положителен у Дональда.
С мальчиком Дональдом могло произойти 2 случая: 1 - он заразился; 2 - он не заразился
Гипотеза 1: H1 - он заразился
Гипотеза 2: H2 - он не заразился
Нам надо найти условную вероятность, что Дональд заразился при условии положительного теста.
P(H1|A)
По теореме Байеса P(H1|A) = P(H1) • P(A|H1) / P(A)
Вероятность P(H1) = 0,2
А вероятность положительного теста в этом случае P(A|H1) = 0,88
В числителе будет 0,2 • 0,88 = 0,176
Осталось найти знаменатель P(A)
Но он складывается по формуле полной вероятности из двух несовместных событий: положительного теста, если заболел и положительного теста если не заболел.
P(A) = P(H1) • P(A|H1) + P(H2) • P(A|H2)
Первое слагаемое у нас уже посчитано 0,176
Посчитаем второе: P(H2) = 1 - 0,2 = 0,8
P(A|H2) = 1 - 0,96 = 0,04
P(H2) • P(A|H2) = 0,8 • 0,04 = 0,032
P(A) = 0,176 + 0,032 = 0,208
Заключительный шаг. Находим отношение (делим числитель на знаменатель)
P(H1|A) = 0,176 / 0,208 ≈ 0,846
Ответ: 0,846
П.С. Оно и понятно, что если у вас взяли тест и он положителен, то вероятность что вы заболели значительно повышается.
Речь идет о повышении вероятности быть больным. Без теста у вас одна вероятность быть больным. В данной задаче она 0,2. После положительного теста она стала 0,846. То есть даже если тест имеет такую точность, то положительность теста говорит о том, что вы скорее всего больны. И в количественном выражении это будут такие цифры.
Про 88% и 96% - это средние результаты, полученные статистически за многие годы использования этого теста. Это мог знать Дональд на тот момент, когда узнал результат своего теста. Про 20% он (и никто иной во всём мире) ещё не знал.
Когда стало известно про 20% и объявлен карантин, Дональд точно уже знал, болен он или нет.
Вообще Дональд ничего знать не обязан и в у словии про это не пишут и не спрашивают, чего там Дональд знал или не знал и будет ли он чего то знать и когда.
Надо считать конкретные данные по конкретным условиям. Читайте внимательно условие и именно в хронологическом порядке
Сначала найдем вероятность того, что мальчик Дональд заболел корью. Так как он один из учеников, то вероятность его заболевания составляет 0,2 (20%). Теперь найдем вероятность того, что он не заболел корью, она будет равна 0,8 (1-0,2=0,8).
Теперь посмотрим на вероятности ПЦР-теста: если заболевание действительно есть, то тест выявляет его наличие в 88% случаев или 0,88, если заболевания нет, то тест подтверждает отсутствие заболевания в среднем в 96% случаев или 0,98 или тест все равно положительный равна 0,02 (1-0,98=0,02.
Так как у Дональда тест положительный, то рассматриваем случай подтверждения. Вероятность того, что Дональд заболел и у него подтверждена болезнь равна 0,2*0,88=0,176. Вероятность того, что он не заболел и все равно у него подтверждена болезнь равна 0,8*0,02=0,016.
Общая вероятность того, что он заболел равна 0,176-0,016=0,16.
Прям, если заболел, то беги делай тест. При положительном результате вероятность заболеть упадет же :)
.
Вот меня больше умиляет, что откровенно неправильные ответы продолжают набирать голоса.
В данном вопросе спрашивается:
И при этом в вопросе приводится такая достоверная статистика, не зависящая ни от какого-то предварительного ПЦР-теста:
Следовательно, нам нужно посчитать вероятность попадания Дональда в эту пятую часть всех учащихся, конечно же, эта искомая вероятность равна 0.2, только и всего. А вот вся остальная информация о достоверности ПЦР-теста совершенно в этой ситуации излишня и приведена в условии задачи, как я думаю, только для запутывания решающих эту задачу.
А теперь добавим новую информацию: мальчик Дональд в инвалидной коляске, у него врожденное заболевание. Что для него по прежнему 0,2 вероятность и информация про коляску просто для запутывания?
Это число реально вычислить, пользуясь только данными из условия? Или нет? Я что-то не могу понять.
Дело вот в чём. Есть тест со своими ошибками. Исходя только из этих данных (88% и 96%) можно высчитать, какова вероятность, если тест положительный, что болезнь реально есть. И эта вероятность будет некой функцией от параметров 88% и 96%, так? Или не так?
Если так, то какую роль играет тут 20% реально заболевших? Они как-то корректируют предыдущий расчёт? Несомненно.
Если реально заболевших, допустим, 0%, или 100%, то вероятность у Дональда тоже 0%, или 100%. А тогда при чём тут тест и вычисленная по его данным вероятность? Она совершенно не работает в этих крайних случаях.
1) Все проходят тест. Это дело интимное и Дональд знает только результат своего теста. Он, увы, положительный. Дональд начинает рассуждать, попадёт он в число 88%, то есть, он фактически болен, или он попадёт в число 4%, для которых тест ошибочен, следовательно, Дональд не болен. И вот-то нужно рассчитать вероятность, что Дрнальд всё же болен. Как?
2) Проходит какое-то время и становится известным, что 20% из прошедших тест реально больны.
3) Мой вывод. После пункта 2), когда по факту известно, кто заболел и сколько их заболевших, в том числе и про Дональда всё стало известно, то рассчитывать тут какую-то вероятность уже поздно, всё уже случилось по факту. Однако, если бы по какой-то причине до пункта 2) стало бы известно (от господа Бога, например), сколько именно учеников, имеющих положительный тест, по факту заболело (не теоретических 88%, а фактических), то можно рассчитать вероятность и для Дональда.
Все они прошли тест.
Из 100 здоровых: 96 человек имеют отрицательный тест и 4 положительный
Из 25 больных: 3 человека имеют отрицательный тест и 22 положительный.
Итак нам известно, что 22 + 4 = 26 человек имеют положительный тест именно среди них Дональд. Но из этих 26 реально больные 22.
Так какая вероятность быть Дональду больным? 22/26 = 0,84615384615
"Подбросили монетку. Какова вероятность того, что она упала орлом вверх?".
В первом случае событие ещё физически не наступило, а во втором случае оно наступило, но исход его нам не известен.
С точки зрения расчёта вероятности наступления события оба случая эквивалентны.
Вы скажите - из условия задачи? А тогда скажите, для какого именно хронологического момента всего этого сюжета нам предлагается найти искомую вероятность? Когда только Дональд узнал результат свеого анализа, или когда 20% всех школьников заболели и был объявлен карантин? Или в какой иной?
- У вас в кармане 2 яблока
- Врете! Ни одного.
Ну и далее по тексту.
Это отговорки учеников, которые не склонны к обучению, либо занимающихся троллингом.
Первые действительно не могут мыслить абстракциями. И понять не могут, если в условии дали значит так и есть. Вторые иногда понимают, но включают такой защитный механизм, чтоб уйти от проблемы или скрыть свое непонимание или действительно поиздеваться от скуки.
Школьники начали болеть корью. И когда их набралось 20%, школу закрыли на карантин, а тех, кто на данный момент не имел признаков заболевания, заставили пройти тест? Так что ли?
Тогда среди них могли быть, как здоровые, так и больные. И их пропорция уже не имеет никакого отношения к тем 20% уже явно больных, из-за которых закрыли школу.
Или всё иначе? Опишите тогда всю хронологию, как Вы её понимаете.
Итак известно по условию, что 20% заболели. Откуда известно мне фиолетово.
Может есть статистика какая, что если Корь, то болеют 20%, а может ещё как. Мне по барабану откуда взято 20% (откуда взялись 2 яблока в кармане) Важен сам факт.
Далее всех учеников послали делать тест и есть статистика этих тестов.(тоже некий данный факт). Причем мне даже не важно для решения, делали ли остальные эти тесты или нет. Важно, что Дональд сделал и получил положительный результат.
Далее зная теорию, задача решается.
Мы не знаем болеет ли Дональд или нет. Но знаем о результатах теста.
Тогда предполагаем, 1 случай: Дональд болеет. Тогда получить положительный результат у него один.
2 случай Дональд не болеет. И получить положительный результат у него другой.
Мы можем найти общий результат получения положительного результата. Но есть одна заковырка. Доля больных значительно меньше здоровых. Поэтому, чтоб посчитать общий результат надо перед суммированием каждый умножить на свою долю.
Таким образом получим сумму всех событий когда тесты положительны.
Из них надо выбрать положительные тесты когд человек болен. И посчитать отношение.
1) в школах города Вашингтона объявлен карантин, так как 20% учащихся заболели Корью.
20% уже заболели. Отличить внешне больных корью не составляет никакого труда. Это сыпь по всему телу. Но в первые три дня инкубационного периода внешних признаков кори не видно.
2) школьников направили проходить ПЦР-тест на наличие антител к возбудителю Кори
Кого направили? Всех подряд и тех, кто покрыт сыпью? Или только тех, у кого пока внешние признаки кори не проявились? И так, пусть направили всех. Но не суть важно.
3) Далее в задаче описывается достоверность теста. Тут у меня вопросов нету.
4) мальчик Дональд - сдал ПЦР-тест и результат теста оказался положительным (в плохом смысле данного слова)
Какая вероятность того, что мальчик Дональд действительно заразился корью?
Вот это мы и имеем. И эти 20% никаким тут боком пока к Дональду отношения не имеют.
Если только поменять события, описанные в условии местами.
1) У школьников появилась сыпь.
2) их всех отправили на прохождение теста.
3) у Дональда тест положительный.
4) через какое-то время выяснилось, что реальных больных корью 20%, а 80% здоровы.
5) к этому моменту с Дональдом всё будет ясно, болен он, или нет, но нам это не известно.
Вот так, я думаю, можно решать задачу, используя 20%.
Здесь не игра в жизнь, а проверка умений решить конкретную задачу.
Если вам так легче. Представьте что уже всем известно кроме вас, сколько болеют а сколько нет, кто прошел тесты и их результаты.
И только вам надо это решить. А вы начинаете строить выдумки: а он знает что болеет или нет, потому что есть признаки, а он может заразиться, а может не заразиться и т.п.
ВКонтакте