а) √(xy) / √(-y)

Область определения:

Для √(xy) необходимо, чтобы xy >= 0. Это значит, что либо x >= 0 и y >= 0, либо x <= 0 и y <= 0.

Для √(-y) необходимо, чтобы -y >= 0, то есть y <= 0.

Пересечение этих условий даёт, что для существования выражения необходимо, чтобы x <= 0 и y < 0 (y не может быть нулем, так как оно в знаменателе).

Преобразование и сокращение:

√(xy) / √(-y) = √(xy / -y) = √(-x)

Результат:

√(xy) / √(-y) = √(-x) при условиях x <= 0 и y < 0.

б) (√(-x) - √(-y)) / (x + y + 2√(xy))

Область определения:

Для √(-x) необходимо, чтобы -x >= 0, то есть x <= 0.

Для √(-y) необходимо, чтобы -y >= 0, то есть y <= 0.

Для √(xy) необходимо, чтобы xy >= 0. Поскольку x <= 0 и y <= 0, это условие выполнено.

Преобразование знаменателя:

x + y + 2√(xy) = -(√(-x) - √(-y))^2

Сокращение:

(√(-x) - √(-y)) / -(√(-x) - √(-y))^2 = -1 / (√(-x) - √(-y))

Домножение на сопряженное: -1/(√(-x) - √(-y)) = -(√(-x)+√(-y))/((-x)-(-y)) = -(√(-x)+√(-y))/(y-x)

Результат: *(√(-x) - √(-y)) / (x + y + 2√(xy)) = -1 / (√(-x) - √(-y)) = -(√(-x)+√(-y))/(y-x) при условиях x < 0, y < 0, и x != y.

в) (√(xy) - √(y²)) / y + √(x/y)

Область определения:

Для √(xy) необходимо, чтобы xy >= 0.

Для √(x/y) необходимо, чтобы x/y >= 0.

Также, y не может быть нулём, так как деление на 0 не допускается.

Так как sqrt(y^2)=|y|, если y<0 то |y|=-y

Если y>0 то |y|=y

Рассмотрим два случая y>0 и y<0

Если y>0 (√(xy) - y) / y + √(x/y) = √(xy)/y-1+√(x)/√(y)

Пусть x>0 тогда √(x)/√(y) -1 + √(x)/√(y) = (2√(x)-√(y))/√(y) -1

Пусть x=0 тогда -1

Если y<0 то |y|=-y. Тогда √(y^2)= -y (√(xy) - (-y)) / y + √(x/y) = (√(xy)+y)/y+√(x/y) = √(x)/√(-y) + 1 + √(x/y)

Разные случаи для x и y

Если x>=0 и y>0: (√(xy) - y) / y + √(x/y) = √(xy)/y -1 + √(x/y) = √(x)/√(y)-1+√(x)/√(y) = 2√(x)/√(y)-1

Если x<=0 и y<0: (√(xy) + y)/y + √(x/y) = √(xy)/y +1 + √(-x)/√(-y) = √(xy)/y +1 + √(-x)/√(-y) - ничего не сокращается

Тогда x = -|x| и y = -|y|

√(xy) = √(-|x|* -|y|) = √(|x||y|)

(√(|x||y|) - |y|) / -|y| + √(-|x|/-|y|) = -√(|x|/|y|) + 1 + √(|x|/|y|) =1

Результат:

При x>=0 и y>0: (√(xy) - √(y²)) / y + √(x/y) = 2√(x)/√(y)-1

При x<=0 и y<0: (√(xy) - √(y²)) / y + √(x/y) = 1