Задача. Какое наименьшее количество слагаемых может быть в Настиной сумме?
Настя утверждает, что нашла квадрат простого числа, который можно представить в виде суммы нескольких (более одного) попарно различных квадратов простых чисел.
Какое наименьшее количество слагаемых может быть в Настиной сумме?
(Пример можно найти с помощью программы, однако оценку вполне реально осуществить и вручную, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором!)
Ответы (2)
Запишем первые несколько простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19...
Запишем их квадраты: 4,9,25,49,121,169,289,361...
Теперь попробуем составить сумму, согласно условию задачи.
Например, 25=9+16=9+4+4+4+4. Представили квадрат простого числа в виде суммы нескольких простых чисел. Но у меня некоторые слагаемые получились одинаковыми. А в условии написано попарно различных квадратов. Непонятно слово попарно.
Попробуем так. 169=49+49+25+25+9+4+4+4 или 169=(49+4)+(49+25)+(25+4)+(4+9). Получили вроде сумму попарно разных квадратов. У меня всего слагаемых 8. Но это многовато по-моему. Это только размышления, а не полный ответ.
Это означает, что любая пара чисел должна состоять из различных чисел. Потому если у вас повторяется одно и то же число, то пара из этих чисел не различна. 4 и 4 - не различны.
49 и 49 - не различны, хоть вы их решили скобочками разделить типа на другие пары. Это не правильное понимание.
Как раз таки попарное различие и заостряет на этом момент.
Для начала проанализируем, а сколько возможно.
1 Вариант (минимально возможного) это 2 числа.
Но это получится Пифагорова тройка. А зная немного о тройках, там одно число обязательно четное и более 2. Можно это строго доказать.
То есть 2 числа невозможно
2 Вариант 3 числа
Пусть а² + b² + c² = d² Причем они все простые и нечётные (чётными быть не могут)
Тогда a² + b² = d² - c² = (d-c)(d+c)
Но тогда (d - c) - чётное и (d + c) - чётное
И значит a² + b² - должно делится на 4
но a = 2k + 1 и b = 2n + 1
и a² + b² = 4k² + 4n² + 4k + 4n + 2 - не делится на 4 (остаток 2) - противоречие
То есть 3 числа невозможно
3 Вариант 4 числа
Одно из чисел должно быть четным, то есть 2
Пусть а² + b² + c² + 2² = d²
аналогично с вариантом 3
получим a² + b² + 4 = (d-c)(d+c)
справа делится на 4, а слева не делится на 4
То есть 4 числа невозможно
4 Вариант 5 чисел
Тут все числа будут нечётные и уже догадываемся, что деление на 4 будет
a² + b² + c² + d² = (e-f)(e+f)
Но справа будет деление на 8, а слева нет
слева будет 4(n² + k² + l² + m² + n + k + l + m) + 4 = 4( n(n+1) + k(k+1) + l(l+1) + m(m+1)) + 4, каждое слагаемое вида n(n+1) - чётно и будет выражение вида 8х + 4 - на 8 не делится
а справа e = 2k + 2n + 1; f = 2k + 1 (отличаются на 2n)
(e-f)(e+f) = 2n(4k + 2(n+1)) = 8nk + 4n(n+1) = 8nk + 8x
То есть 5 чисел невозможно
6 Вариант 6 чисел
Аналогично с предыдущим вариантом
a² + b² + c² + d² + 2² = (e-f)(e+f)
В принципе сходу противоречий нет.
Остановимся пока на этой оценке, хотя примера пока нет.
Но нас не спрашивают конкретный пример, а просят пока оценку.
ВКонтакте