Как известно, в 1 моле любого вещества содержится число Авогадро молекул. Стало быть, задачка сводится к определению того, сколько же молей воды содержится в одном её килограмме.

Ну так фигня вопрос. 1 моль воды - это 18 г. Стало быть, молей в 1 кг - это 1000/18 = 55,55... молей. Вот это надо умножить на 6,022*10²³ (число Авогадро) - это и будет ответ.