Дано: sin(20/3) = -1/4

Я проверил.

arcsin(-1/4) ≈ -0,2527 рад ≈ -14,4775 гр.

Это никак не равно 20/3.

Делаем вывод: Видимо, обозначение 0/3 означает неизвестный угол a. Тогда 20/3 = 2a.

В таких задачах предполагается, что мы не умеем вычислять arcsin числа и не можем найти угол a напрямую.

Получаем такую задачу.

Дано: sin 2a = -1/4

Найти: ctg 2a - ctg a.

Решение.

sin 2a = 2*sin a*cos a = -1/4

Если sin 2a < 0, значит, угол 2a находится в 3 и 4 четверти:

pi < 2a < 2pi

p/2 < a < pi

То есть угол а находится во 2 четверти. Тогда sin a > 0, cos a < 0

cos 2a = -√(1 - sin^2 2a) = -√(1 - 1/16) = -√(15/16) = -√15/4

ctg 2a = cos 2a/sin 2a = (-√15/4) : (-1/4) = √15 ≈ 3,873

ctg 2a = √15 ≈ 3,873

sin a*cos a = -1/8

Возводим в квадрат:

sin^2 a*cos^2 a = 1/64

sin^2 a*(1 - sin^2 a) = 1/64

sin^2 a - sin^4 a = 1/64

0 = sin^4 a - sin^2 a + 1/64

Получили биквадратное уравнение относительно sin a.

D = (-1)^2 - 4*1*1/64 = 1 - 1/16 = 15/16 = (√15/4)^2

sin^2 a1 = (1 - √15/4)/2 = (4 - √15)/8 ≈ 0,015877

sin a1 ≈ 0,126, cos a1 = -√(1 - sin^2 a1) = -√((4 + √15)/8) ≈ -0,992

ctg a1 = cos a1/sin a1 = -0,992/0,126 ≈ -7,873

sin^2 a2 = (1 + √15/4)/2 = (4 + √15)/8 ≈ 0,984123

sin a2 ≈ 0,992, cos a2 = -√(1 - sin^2 a2) = -√((4 - √15)/8) ≈ -0,126

ctg a2 = cos a2/sin a2 = -0,126/0,992 ≈ -0,127

Получаем два ответа:

1) ctg 2a - ctg a1 = 3,873 + 7,873 = 11,746

2) ctg 2a - ctg a2 = 3,873 + 0,127 = 4

Скорее всего, ожидается ответ: 4