Пациент -- больной, лечащийся у врача (по отношению к этому врачу). Лечащийся -- такой, который лечится (у врача, дома и т. д.).
Пациент -- заимствование XIX века из французского языка, где patient от латинского patientis «страдающий», причастия от pati «страдать» (также и «терпеть», ср. галлицизм пасьянс, значащий буквально «терпение»). Пациент буквально -- «больной».