Правильно: императорский костюм XVII -- начала XX века. Слово век относится к слову начало, и, так как речь идёт о начале одного, двадцатого, века, корректна форма единственного числа. В случае ткани XVII -- XX веков слово век относится к словам семнадцатый и двадцатый, поэтому корректна форма множественного числа.